. dx ^ d\
de \ égale donc sa dérivée, comme ¡’exponentielle e^; ce qui porte à
penser qu’elle doit varier de la même manière qu’elle, ou lui rester
proportionnelle. Le rapport de y à e* ayant ainsi, vraisemblablement,
une expression très simple, prenons-le pour notre nouvelle fonction rj,
ou posons y — e^r\. Le produit e^i\, substitué à y dans l’équation,
avec sa dérivée en \ qui est H- donne, aj>rès réduction, en
divisant finalement par le facteur e’ (fini et différent de zéro pour
toutes les valeurs finies de £), ^ = o; et l’équation du problème se
trouve, de la sorte, tellement simple, que son interprétation devient
immédiate, puisqu’elle exprime que la fonction r h ayant sa dérivée
identiquement nulle, peut être une constante quelconque c, mais
pas autre chose. Donc l’expression générale cherchée de y est ce^,
c’est-à-dire ce ax .
Compliquant un peu la question, cherchons, en deuxième lieu, des
fonctions de x dont la dérivée seconde se compose de deux parties,
proportionnelles, l’une, à la fonction même y, l’autre, à sa dérivée pre
mière. Cette seconde partie est 2 a c ~^, si a désigne la moitié de son
coefficient, et l’autre partie, produit de y par une constante, peut
toujours se mettre sous la forme — (a 5 dr $~)y, en appelant [3 2 la va
leur absolue de la somme, négative ou positive, de cette constante et du
carré a 2 de la précédente a. Le problème est donc défini par l’équa
tion
y
dx 2
Tx ~ (a2±
(py
dx %
dy „
—j- 4- x-y
dx J
On peut l’écrire aussi, d’une manière en partie symbolique comme la
précédente (4^),
(43)
d*
dx 2
1 d
j- x + a2 )y ± = o ou
d_
de
— a J
■ + ft^y —
• ■ -