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ET ellipsoïde a faibles excentricités. 76* 
(P- h). 
• (M). 
•» quoi se réduit lt 
ib' a, kf sont v» 
Jmaooe de e demi 
ooérateur de la der- 
Ics expressions^ 
emiers termes, de 
dans les secoué, 
près qu'on jr amii 
), si l’on remplace 
sera finalement 
leurs approchées 
d une sphère d un 
mi-axes a, b, c. 
gmuU, même sur- 
no venne arithmi- 
ompte, dans le se 
>Ue valeur de R doit 
e moyenne arithme 
des iroisdemi-aies. 
ff > *»S8vp- u, )P oar 
U point de vue de II 
oppemenl direct » 
jurant dans le d«- 
ht fonctions E.f ! 
rilVOB f 
d'une p 
302*. — Évaluation des volumes et des aires courbes en coordonnées 
polaires. 
Certaines sommations, dont la Leçon prochaine offrira (n° 308*) 
un important exemple, conduisent à l’emploi des coordonnées polaires 
tites. Pour simplifier les fox-mules, choisissons le demi petit axe c comme unité 
de longueur, et posons, par conséquent, 
_i __l 
(a) a = (i — e 2 ) 2 , b = { 1 — k 2 e 2 ) 2 , c = 1. 
D’après (29), l’aire de l’ellipsoïde sera air-4-27:— f ( 1 ) c ^ u 7 et? 
e do y/(i—m 2 ) (1 — /c* u- ) 
en l’égalant à 4~R 2 après y avoir remplacé a, b par leurs valeurs (a), on aura 
aisément 
(P) 
R = 
V {1 — e 2 ){i — k 2 e 2 ) 
r 
(1 — /r 2 e 2 u 2 ) du 
C(i — u 2 ) (1 — A: 2 m 2 ) 
Développons-y par la formule du binôme, suivant les puissances de u% la fonc 
tion sous le signe /. Il viendra, en prenant pour la seconde partie du binôme la 
quantité —(1 -r- k-) u 2 + k 2 it 4 , dont on développera les puissances successives jus 
qu’aux termes qui sont, par exemple, de l’ordre de ou de w 6 inclusivement, 
! 1 —— 
i ■ — ou [1 — (1 + k 2 ) u 2 -+- A: 2 m 4 ] 2 
1 /(7— u 2 ) (1 — k 2 u 2 ) 
I 1-t-k 2 3 -4- 2 k 2 + 3 k 1 5 - - 2 A- 2 -*- 5 k 4 , 7 . 
= 1 -t u 2 -4 w h ( 1 + A- 2 ) u 6 -4-... ; 
2 8 ib v ' 
après quoi l’on trouvera 
— — k e u _ (les termes ci-dessus)—k 2 e 2 u 2 — — (1 + k 2 )e 2 u i — .... 
V ( x — u 2 ) ( 1 — k 2 u 2 ) 2 
Par suite, l’intégrale qui figure sous le radical de (¡3) a, tous calculs faits, la 
valeur 
F i -f- k 2 
6 1 + -b~ e 
q— 3[\k 2 +qk* 25 — 66 A- 2 +25 k* , 
' — en — (i + £ 2 )e»+... , 
56o 
et son quotient par 2 e \J{1 — e 2 ) ( 1 — k 2 e 2 ), ou son produit par 
1 
[ 1 — ( 1 + A: 2 ) e 2 + k 2 e* ] 
=+r i + 14 
\ 26 L 
+ k 2 3 + 2 k 2 + 3 A 4 
e 2 + e 1 
est 
(y) 
1 + k 2 4 -P k 2 + 4 k* 
q — 6 2 + — -—-— e 4 
5 — 2 k 2 + 5 A: 4 
16 
4 — 3 A- 2 + 4 A- 4 
( 1 + A' 2 ) e 6 - 
(1+ A- 2 )e 6 + 
3 i5 ” 35 
La relation (¡3) devient donc, après addition de \ à (y) et extraction de la