A UNE AUTRE AYANT POUR CHAMP SES LIMITES.
'’'‘WsiUtiV
. ' ■■ ■ Stl&iL.
tj ' P°WalyJ
« MT0I« ,J r
•» »«ne, e y
e i’bIiikì, miimii!:
li'uUeurs arbitrare,
rompe tie leurspü
I plusiBlin fois Iffl-
I, de toste hua, lu
I, seulement, si №
mon, par des é®
, nuis pas issa p*
résultats.
•ensee faite a« M*
const., panili®
v,p se rapport« 11
riiomiees consecutif
>aciases 1 ” ‘
p, Dans toni« 1 *
9 1
étendue, x, dx sont constants, etjy croît depuis l’ordonnée /?P 0 , que
j’appellerai y 0 , jusqu’à l’ordonnée pPi, que j’appellerai y,. La somme
sera donc
(18) dx f ^~^-dy = dx{f{x,y)y y -y y l=:f{x,y l )dx—f{x,yo)dx.
Jy a J
Or concevons qu’on tire, aux divers points du contour, en P 0 et P,
par exemple, la normale P 0 N 0 ou P^! à ce contour, en la menant
vers l’extérieur du champ <r d’intégration: nous la désignerons, d’une
manière générale, par n. Au point P 0 , correspondant à la limite infé
rieure, cette normale fera évidemment un angle obtus avec la parallèle
P 0 Pj aux y positifs, car elle s’y dirigera du côté des y négatifs où ne
s’étend pas le champ .a ; au contraire, en P n point où le champ est
borné dans le sens des y positifs, la normale extérieure n fera un angle
aigu avec la même parallèle P 0 Pi prolongée.
Nous représenterons par cos(/i, y) le cosinus, négatif dans le pre
mier cas, positif dans le second, de cet angle de la normale n avec les
Y positifs. Et, comme d’ailleurs l’angle en question est l’égal ou le sup
plémentaire de celui (ayant ses côtés normaux aux siens) du petit arc
correspondant P 0 Q 0 ou PiQi avec O- 37 ; c’est P ar la valeur absolue de
cos(«,/) qu’on devra, dans chaque cas, multiplier l’arc élémentaire
limite ds, c’est-à-dire P 0 Q 0 011 PiQi, pour avoir sa projection sur Ox,
distance mutuelle pq — dx des deux ordonnées considérées /?P t , qQ|.
Si donc nous appelons n y la normale PjNj, n 0 la normale P 0 N 0 , ds,
l’élément P1Q1 du contour, ds Q l’élément P 0 Q 0 , il viendra
(19)
dx = cos(ni, y) ds1 = — cos(n 0 , y) ds 0 .
Portons ces deux valeurs de dx, respectivement, dans les deux termes
du troisième membre de (18); et nous aurons, pour ce troisième
membre, l’expression symétrique
f{x, y, ) cos(n.i, y) dsi-^f(x, y 0 ) COS(n 0 , y) ds 0 .
Donc la somme cherchée
pour une bande P 0 QoQiPn comprise
entre les éléments P 0 Q 0 et PiQn 011 ds 0 et ds { , du contour, égale la
somme des deux valeurs que reçoit sur ces éléments l’expression
f{x, y) cos ( n, y)ds. Comme il en serait évidemment de même pour
les autres parties analogues de l’intégrale proposée, le résultat total
s’écrira f f{x, y) cos{n,y) ds.
La somme f ne s’y présente, il est vrai, que comme concernant les
éléments ds du contour qui ne sont pas parallèles aux y et qui, par
