(j2* RÉDUCTION D’UNE INTÉOR. MULTIPLE* IMMÉDIAT. INTÉGRABLE UNE FOIS,
suite, servent de limite inférieure ou supérieure à quelque bande,
comme P 0 QoQ) P i> du cl)am P a : mais on P eut l’étendre, sans incon
vénient, aux éléments ds parallèles à Oy‘, car les termes
f(æ,y)cos{n,y)ds
ainsi introduits seront annulés par le facteur cos(«, y), égal à zéro
quand la normale est perpendiculaire aux y. Ainsi l’intégrale obtenue,
relative à tout le contour s, sera / f{x, y) cos{n,y)ds; et un raison-
J S
nement déjà bien des fois répété prouve d’ailleurs que celle-ci gar
dera la même valeur, de quelque manière que s’y fasse la division du
contour s en éléments infiniment petits ds, ou, encore, quel que soit
le point (x,y) de chacun d’eux pour lequel on évalue le facteur
f{x,y) cos («,/), fonction déterminée de {oc,y), c’est-à-dire de l’arc s.
En résumé, si l’on joint à la formule trouvée celle, de même nature,
que l’on a quand l’intégration immédiatement effectuable s’opère par
rapport à x, il vient, pour le cas des intégrales doubles, les deux rela
tions cherchées
( Í dr! = /Vo> y)c°s( n , x)ds,
i'io) / *
I / d '^dy J ' d ° = C ° S ^ n ’ ^ ds '
Appliquons maintenant le même procédé à une intégrale triple, dont
l’élément, pris, par exemple, de la forme dxdydz, se rap
porte à tous les parallélépipèdes rectangles infinitésimaux dxdydz
d’un volume donné, que j’appellerai w, et que limitera une surface dé
signée par a : cette intégrale, où l’intégration en z est immédiatement
effectuable, pourra aussi, pour des raisons maintenant bien connues,
s’écrire J' —-¿/ttt, les différentielles dw du champ w d’inté
gration étant des volumes infiniment petits en tous sens et de formes
quelconques. Réduisons-les, comme il est permis de le faire, à celles,
d expression dxdydz, que donnent les trois systèmes de plans
x ~~ const., y — const., g — const.; et faisons la somme de tous les
df
éléments — dx dy dz se rapportant à un même filet prismatique con
tinu, de section dx dy et parallèle aux z, terminé inférieurement
et supérieurement à deux éléments da 0 , dz^ de la surface limite du
volume. Si z 0 , z x sont les valeurs extrêmes correspondantes de z, il
