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TRANSFORMATION DES INTÉGRALES MULTIPLES : MÉTHODE ANALYTIQUE 
une relation continue x = f (t), et que l’on a eu soin de prendre des 
limites assez peu éloignées pour que t Varie sans cesse dans un même 
sens pendant que x va de a à h, la transformation ne présente aucune 
difficulté. En effet, chaque élément f{x) dx devient /0(0]<?'(*)dt 
et la somme de tous les éléments pareils, obtenus en faisant changer 
Graduellement t depuis la valeur, t 0 , qui correspond à x 0 , jusqu’à la 
valeur, ty, correspondant à x x , est toujours J /[<?(*)] <p'(t)dt. Mais 
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la question devient plus complexe quand l’intégrale proposée est mul 
tiple, et qu’il s’agit d’y remplacer les variables d’intégration, x,y, ..., 
par d’autres dont plusieurs entrent à la fois dans l’expression de x, ou 
de y, etc. 
Pour faire comprendre, de la manière la moins abstraite possible, 
comment se résoudra ce problème, je traiterai directement un exemple 
simple, qu’il est d’ailleurs nécessaire de connaître, et qui, tout en 
fixant les idées, nous éclairera suffisamment sur la marche générale à 
suivre. 
Soit une intégrale double de la forme / dx i f{x,y)dy, où la 
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fonction sous le signe f, f (x, y), est supposée tendre assez vite 
vers zéro, quand x ou y grandissent, pour que tous les éléments 
f (¿p, y) dx dy correspondant aux valeurs très élevées de x et de y 
aient, entre des limites quelconques ou sur des étendues quelconques, 
une somme insignifiante; ce qui assure évidemment à l’intégrale une 
valeur finie bien déterminée. On l’écrit encore, d’une manière un peu 
plus brève, / / f{x,y)dxdy. Proposons-nous d’y faire figurer, au 
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lieu de x et y, deux nouvelles variables, r et 6, liées à x et à y par 
les deux relations x — r cosO, y = /• sin6, ou, en d’autres termes, de 
substituer des coordonnées polaires /■ et 6 à x et à y, considérées 
comme des coordonnées rectangles dans le plan xOy (p. q5*). 
On voit que chaque élément de l’intégrale, f {x, y) dx dy, s’obtient 
en multipliant l’aire, dx dy, d’un rectangle élémentaire MNN'M' du 
plan, par la valeury(a?, y) de la fonction en un point de ce rectangle, 
point pour lequel on choisit, d’ordinaire, son premier sommet, M, 
c est-à-dire son sommet ayant les coordonnées les plus petites, ¿c, y. 
Et l’intégrale entière, où x et y croissent de zéro à l’infini, est la 
somme, / /{x,y)da, des produits pareils dans tout le champ a con- 
slitué par l’angle xOy des coordonnées positives. 
1 locédons à la transformation. Dans la question proposée, il s’a-