l36* MODES DIVERS DE CALCUL TOUR CERTAINES INTÉGRALES DÉFINIES : 
332*. _ Calcul de certaines intégrales par le moyen d’équations 
différentielles qu’elles vérifient. 
Enfin, un procédé de calcul qu’il est indispensable de connaître et 
dont d’importants exemples seront donnés ultérieurement, consiste à 
dilTérentier une ou plusieurs fois l’intégrale définie proposée, par rap 
port à un de ses paramètres, et à transformer les résultats de ces dif 
férentiations de manière à mettre en évidence, entre 1 intégrale définie 
et une ou plusieurs de ses dérivées, quelque relation finie, assez 
simple pour pouvoir conduire à la forme de l’expression de l’intégrale 
en fonction de son paramètre. La connaissance de certaines valeurs 
particulières de celte expression ou de ses dérivées les moins élevées 
suffit ensuite pour déterminer les constantes qui y figurent et pour 
achever, par conséquent, de la rendre explicite. 
Soit, comme exemple, à évaluer l’intégrale e~ x ' cost.ïx dx, 
que nous appellerons I, et que nous supposerons connue seulement 
reconnaît immédiatement, en y remplaçant le facteur cos2ax par son 
maximum absolu i, qu’elle est bien déterminée; car ses éléments cor 
respondant aux grandes valeurs de x y ont une somme moindre que 
e~ x 'dx et, par conséquent, évanouissante lorsque ces valeurs 
croissent sans limite. Ayant ainsi posé 
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différentions sous le signe f par rapport au paramètre a : ce qui, 
malgré la limite supérieure infinie de l’intégrale, donnera bien un ré 
sultat déterminé et, par suite, exact (p. 112*); car la nouvelle fonc 
tion sous le signe f obtenue sera, malgré la présence d’un facteur x, 
infiniment petite d’un ordre supérieur à tout nombre donné jiour les 
valeurs de x croissantes, à cause de l'exponentielle e~ x '. Il viendra 
donc, en effectuant finalement une intégration par parties évidente : 
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