POUR 0DTEXI11 UXE formule algébr. approchée DE CETTE FOXCTIOX. t41 * 
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valeur i.2.3.../i. Le second membre fournit donc une expression 
approchée du logarithme du produit des n premiers facteurs entiers à 
partir de i, pourvu que leur nombre soit un peu grand. Ce second 
membre constitue alors la partie principale d’une série semi-conver- 
■ 1,1 
gente célèbre, appelée formule de Stirling, qui permet d’obtenir avec 
une grande approximation le logarithme dont il s’agit, à la condition 
de n’y prendre que le nombre de termes convenable. 
33i*. — Expression indéfiniment approchée (sous forme de produit) qui 
résulte, pour toutes les valeurs de r(n), de la forme asymptotique 
de cette fonction. 
ttktiim (j [d*j 
'"des i|«i li^mi g. 
Connaissant maintenant r(« + i), à une erreur relative près éva 
nouissante, pour toutes les valeurs très grandes de n, nous pourrons, 
par la formule T(/i -h i) — /ir(n), que nous avons déduite (p. 35*) 
ternit; ,m i* j(j| 
d’une intégration par parties, rattacher T(/i) non plus aux premières 
•l'aile i <]auüi 
llr (Ht* l| ÛiOMMî 
valeurs de cette fonction, comprises dans l’intervalle allant de n~ o à 
n =i, procédé qui nous a réussi seulement pour les valeurs de n mul 
tiples de -j mais bien aux dernières (si l’on peut ainsi dire), en ajou- 
finit i g 
tant successivement à n un nombre indéfini d’unités au lieu d’en 
«sjlijçabfei euxèiH • 
'mit; i|ù punit nsi 
einenLs principaux. è*i 
»¡¡n, lit lout la Mis 
retrancher. Il viendra de la sorte, pour F(/i), la suite d’expres 
sions 
,,x T'/ N r(n-hi) r(n+a) r(/H-/) + i) 
( 4 ) lift) — — . — • • • -—• w x 
H il(iH-l) rt(/i + l)(/l + '2)..,(n+/)) 
pur connéauent. ¡a if® 
Supposons que, n étant une valeur positive quelconque de la va 
riable, on lui ait ainsi ajouté un nombre très grand, p -+-i, d’unités, 
tu ; mie ijiiantili <* 
de manière à avoir, par la formule (2), 
/ii [ H *, 
(pie le la fonction r;i- ; 
[ [ p -f- n \ P^' 1 / . 
T(y) + « + l)= — 1 V / 27T(/» -+- /t)(I 4- s) 
(5) ] 1 
ne le rapport & 1 
Nous pourrons, dans le troisième membre, remplacer \Jr.p par la 
ml 
, 1» limite, 1« h ®* 
valeur 2 4 > que donne pour cette racine, avec une erreur 
1 3 5 2 p — 1 1 
relative négligeable, la formule de Wallis (t. I, p. 29*), et qui peut 
s’écrire aussi 2 ^! ~ " l . D’autre part, (1 + -) tend vers 
1.3.5 ... {‘¿p — 1) 1 \ P J 
Xi f0*^' 
n-f 
lim — j ou vers e' 1 , tandis que ( i -+- tend vers l’unité. 
„ gu entière, ri»' 1 
tend vers l’unité.