j/r 2 » EXPRESSION ALGÉBR., INDÉFINIMENT APPROCHEE, DE LA FONCTION T
Donc, en appelant z' une quantité évanouissante, comme t, pour/) in
fini, la formule (5) revient à
(6)
F( il
0 =
p\P+ a „ 2#»(l.2.3...jB)
7 ' e n t——Hpili + f)
3.5 ... (o.p — i)
1.2.3 ... p
(’A p — l)
v/a(n- s').
Or, si l’on avait simplement, dans celle formule, n~:o, son
premier membre serait 1.2.3 ...p, et, son troisième membre,
/HZ? l i • ? • J • • -P— i/ 2 (i +&')• L’égalité des deux membres dans
\ e / 3.5 ... (2/) — i) ’ v '
ce cas particulier montre que, sauf erreur relative négligeable,
( ÏEY î J2 vaut l’unité: et, par conséquent, la formule
V e J 3.5...(2/)-i) v 5,1 1
(6) peut encore s’écrire, en appelant s, une nouvelle quantité éva
nouissante, analogue à s ou à z',
( 7 ) r(/H-/?-hl)= V[p -+-l)/>“(l-f- Si) =/>"(1.2.3 .../>)(! + £!).
Transportons enfin cette dernière valeur de r(/i -+-/) i) dans (4),
et il viendra, pour définir Y{n) comme limite d’une fonction algé
brique,
(8)
1»
p n 12 3
Il n .•+- I n 2 n •+■ 3
(pour p infini).
On remarquera que, dans le facteur/)“ du second membre, le très grand
nombre entier p peut être accru d’une constante k quelconque sans
changement du résultat limite; car remplacer/)“ par (/)+ k) a revient
nk n(n— i)/r 2
i H 1 i 1- . .., expression
P 1.2 p-
à multiplier pai
k \ «
i H- -
P
)‘=
tendant vers i pour/) infini. Si la formule (8) devait servir au calcul
numérique de r(/i), on choisirait naturellement k de manière que,/)
étant un entier donné, assez grand, mais fini, le second membre se
trouvât déjà le plus près possible de sa limite, ou fût le moins modifié
possible par les changements de p en p -h i, en/) -h 2, etc. Or le chan
gement de p en /) -+-1 multiplie l’expression dont il s’agit, savoir
(p -+- k) n i
P
Il —H I II —H 2
n-+-p
par
(/>-+- k H- i)“ />-+-1
équivalent à ( i +
k
P
i +
\P
k — i\-«
P
- k) n
i H-
facteur
P
, et qui aisé
ment développable, par un triple emploi de la formule du binôme,
k k — i n
p -t- i ’ /> 4- i ’ p -+- i
suivant les puissances des petites quantités
c est-
