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ET SON EMPLOI POUR DÉMONTR. LES PROPRIÉTÉS DE CETTE FONCTION. 143* 
à-dire suivant les puissances négatives de jo +1, devient la série 
n ( l n ' ou, sous forme d’exponentielle (toujours 
i + 
n{l+n—2k) 
développable suivant les puissances de son exposant), e 2( / ,+ ‘) î 
Un changement ultérieur de p -h i en p2 introduirait de même, à 
nii+ll— île) 
’ , et ainsi de suite ; en 
n -h J) 
-j aurait 
fort peu près, le nouveau facteur e 2( /’ +2 > î 
sorte que le résultat approché, ' ^ * -— l -— —— 
besoin, pour devenir F(n), d’être multiplié par 
«(l-H/i—2h) F 1 1 
On devra donc, quand il faudra rendre ce facteur correctif aussi voisin 
que possible de l’unité, choisir k = , afin d’y réduire l’exposant 
de e à des termes de l’ordre de 
seulement. 
(p -+■ 1 ) 3 
Mais la relation plus simple (8), où k = o, est préférable comme 
formule théorique. On en déduit aisément les propriétés de F(rc) déjà 
démontrées plus haut. En premier lieu, si l’on change n en n -h 1 dans 
le second membre, celui-ci gagne un facteur p au numérateur et un 
facteur «+jo + i au dénominateur, mais perd un facteur n au déno- 
P 
minateur, II vient donc r(/i-t-i) = rcr(/z) 
-■> c’est-à-dire, en 
n -\-p -1-1 
rendant /»infini, F(n-|-i) = «r(n), comme on le savait. En deuxième 
lieu, si l’on fait successivement n — 1 et/i = ^, le second membre de 
(8) se réduit, dans un cas, à -■ , fraction qui devient bien l’unité 
<\/p 
‘ip 
h quan- 
pour p infini ( 0, et, dans l’autre cas, à - 
1 r \ n •> ’ 2/»H-I \i i 2p — i, 
tité où le produit entre parenthèses peut être, à la limite, remplacé 
partir/?, d’après la formule de Wallis; ce qui donne bien, finale 
ment, \Jtz. 
La formule (8) conduit encore, presque sans calculs, à une relation 
simple qui, dans l’intervalle compris de n=oàrt = i, existe entre 
les valeurs de F correspondant aux valeurs de n équidistantes du mi 
lieu n — \ de l’intervalle, et qui permettra, par suite, de déduire F, 
(*) Ce second membre (8), rendu plus convergent par la substitution, à/)“, 
i + n' 
de Mo + 
, est alors exactement F(i) =1.