l\!\* EXPRESSIONS ASYMPTOTIQUES DE CERTAINES INTEGRATES DEFINIES : 
pour toute une moitié de l’intervalle, de ses valeurs dans l’autre 
moitié. A cet effet, supposant n plus petit que i, multiplions le se 
cond membre de (8) par ce qu’il devient quand on y substitue i — n 
à n. Si nous associons deux à deux, dans le résultat, les facteursp n , 
p l - n et i ± n, 2 ± n,..p± n, nous aurons 
I ,■ P 1 4 P 2 1 
| r(n)l'(l-n) = Im. - s • • j’i—, — 
+ P 
= lim 
p- 
Or la formule qui permet de décomposer un sinus en ses fac 
teurs élémentaires (t. I, p. 27*) montre que le produit indéfini 
■ • égale - sn1 _ n • Donc il vient, en définitive, 
n 1 — 
n- 
1 — 
(9) 
T(n)T( 1 — n) — 
relation due à Euler et qui, pour n = £, donne bien r(|) 2 = Tr. 
_ . . . , \ -i • . r(n)F(i — n) . ,, 
Le produit r(/i)r(i — n), identique a n _ hl _ n ^ exprime, d a- 
près la formule (26) de la page 128*, l’intégrale eulérienne de première 
espèce B(«, 1 — n) ou / x n ~ x {i — x)~ n dx. Posons, dans celle-ci, 
1 \-l 
I X — \ I 
1^ 2 1 
d’où dx — — \ 1 + u n 
n 
-—1 
u n du et x 
( '-V 1 - 
= \1 ■+■ u n ) u n 
; ce qui fait 
croître la nouvelle variable u de zéro à l’infini pendant que ¿v va de 
zéro à 1. Nous aurons B («, 1 — n) — - I - ciu { ; et la relation (9), 
nJ ° 1 + im 
multipliée par n, donnera la formule, remarquée également par Euler, 
/ \ /r> . . r°° du ni- 
(10) (rour n compris entre zéro et 1) / 
J Q 1 sir/it: 
1 -t- u n 
Pour n égal à i et, à plus forte raison, pour n > 1, l’intégrale du 
premier membre, dont tous les éléments éloignés grandissent avec n, 
est infinie.