CAS DES INTÉGRALES DE LA FORME 
£ 
,r /( #) dx 
coh' 1 # 
i45* 
— Deuxième exemple : expressions asymptotiques de Ç 
f( x) dx 
et de 
£ 
coh"# 
f{ x)dx 
coh"# 
Considérons, en deuxième lieu, l’intégrale Ç ^> dont le pa- 
«y 00 COU CC 
ramètre positif n est supposé très élevé, et où f{x) désigne une fonc 
tion continue, toujours finie, ou, au plus, de l’ordre de coli 4 # pour 
les grandes valeurs absolues de x, k étant un exposant positif donné. 
De part et d’autre de x — o, le dénominateur co\\ n x croîtra très ra 
pidement, de sorte que les éléments principaux de l’intégrale corres 
pondront aux petites valeurs absolues de x. 
Afin d’exprimer le plus simplement possible ces éléments princi 
paux, réduisons-y coh# oui + ^—t- H-. . . |^en prenant son lo 
garithme naturel, savoir 
/# 2 
# 4 
\ I /# 2 , # 4 
y, 
# 2 
# 4 
| 
\ 2 
2.3.4 
/ aU ' 2.3.4 ‘ “ 
■) + -- 
'1 
12 
" J 
à l’exponentielle e 2 12 , que nous pourrons écrire e 2 * , si s dé 
signe une petite quantité, de l’ordre de# 2 . Les éléments dont il s’agit 
n „ n _ 
— - x ‘ *r 2 £ Tl 
deviennent alors f{x)e 2 e 2 dx, et, tant que — # 2 e, qui est de 
l’ordre de nx’*, reste une très petite fraction de l’unité, ils sont ré- 
_" x i 
ductibles à f{x)e 2 dx ou, sensiblement, vu la petitesse de x, 
-~x* . . /2 
à o)e 2 dx. Pour y simplifier l’exponentielle, posons x — u i/ - 
d’où dx— i/ ^ duj, et ils deviendront/(o) UÎ e~~ ui du. Cette forme 
. A uJ* 
simplifiée, applicable tant que nx 4 ou est une minime fraction de 
funité, subsiste, comme dans le calcul précédent de F(/z -+-1) [p. 189*], 
même quand u atteint les valeurs u — ±\J\o^n, déjà très éloignées 
de zéro; car alors ~ n’est encore que la petite quantité ^; et, 
par conséquent, pour n de plus en plus considérable, la somme des 
B. — II. Partie complémentaire. 10