TRENTE-TUOISIEME LEÇON. 
DE L’EMPLOI DES INTÉGRALES DÉFINIES, POUR EXPRIMER DES FONC 
TIONS ÉCHAPPANT GÉNÉRALEMENT AUX AUTRES MODES DE REPRÉ 
SENTATION FOURNIS PAR L’ANALYSE : INTÉGRALES POURVUES, SOUS 
LES SIGNES /, DE FONCTIONS ARBITRAIRES, ET DONT LES DÉRIVÉES 
ONT DES FORMES SIMPLES. 
3Í5*. _ De la représentation des fonctions par les intégrales définies; 
sur certains types d’intégrales faciles à différentier, et ayant sous les 
signes / des fonctions arbitraires. 
Les Irois dernières Leçons nous ont montré (pp. 121*, ¡63*, etc.) 
<[ue les intégrales définies, sommes d’une infinité d’infiniment petits 
comportant une expression très variée, sont des fonctions bien plus 
diverses, bien plus libres d’allure, en quelque sorte, que les fonctions 
élémentaires de l’Analyse, auxquelles une définition étroite interdit, 
pour ainsi dire, tout écart, et que les combinaisons d’un nombre, 
même illimité, de ces fonctions, procédant par termes de grandeur 
finie, comme sont les séries convergentes, supposées toutefois l’être 
assez' pour qu’un certain nombre assignable de leurs termes four 
nisse leur somme avec toute l’approximation requise. En effet, dans 
ces fonctions élémentaires, et même dans les séries dont il s’agit (où 
l’influence des termes très éloignés reste constamment insensible), la 
continuité, l’enchaînement des valeurs successives, ne consistent pas 
seulement en une manière graduelle dont se produisent les variations, 
mais aussi en rapports directs imposés par la loi de formation aux 
valeurs les plus distantes, à ce point qu’un arc quelconque, fût-il infi 
niment petit, de la courbe les représentant, suffit, comme on sait, 
pour déterminer celte courbe tout entière. 
Aussi les fonctions et séries élémentaires considérées sont-elles im 
puissantes à exprimer la solution des principaux problèmes de la Mé 
canique physique et de la Physique mathématique, où l’infinie diver 
sité possible de ce qu’on appelle l'état initial des corps introduit des 
fonctions arbitraires, c’est-à-dire des fonctions ayant leur cours com 
posé de parties indépendantes, impossibles à déduire les unes des au 
tres, quelque parfaits que soient d’ailleurs les raccordements ménagés 
entre elles ou la graduelle variation de leur ensemble. Or l’exemple de