LEUR DIFFÉRENTIATION PAR RAPPORT AUX COORDONNÉES DU POINT POTENTIÉ. ig3* 
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Le même raisonnement s’appliquera, de proche en proche, aux déri 
vées d’ordre supérieur, et donnera, par exemple, 
(3) 
2= /■+«- 
,, Y „N d2 p(^ 1), O 7 
—rfp— <fe - 
Mais ces expressions, si simples, des dérivées d’un potentiel où p 
est généralement une fonction arbitraire donnée, ont l’inconvénient 
de contenir d’autres fonctions arbitraires que celle-là ; ce qui rend 
leurs relations mutuelles plus difficiles à saisir. Il y a donc lieu de les 
transformer, de manière à y conserver, sous le signe / , la fonc- 
tion p(ç, 7), Ç). 
Or on y parvient en appliquant le procédé de l’intégration par 
parties ou, chose équivalente, en ajoutant sous le signe / , pour les 
J CT 
retrancher ensuite, des termes affectés des dérivées de plus en plus 
élevées de ^ mais des dérivées de moins en moins élevées de p, et 
propres à rendre la fonction sous le signe f (sauf un dernier terme 
où p ne soit pas différentié) dérivée exacte en ç, tq ou £; ce qui per 
met de transformer, d’après les formules (22) du n° 313* (p. 98*), 
l’intégrale correspondante prise dans tout le champ m en une autre se 
rapportant uniquement aux limites cr, a, de m. 
A cet effet, observons que, sous les signes / de (2) et (3), ^ — 
et ^ reviennent identiquement à 
æ-'b 
æe- 
fP- 
cl.bp db . cl /, dp\ db dp d [ , dp db' 
eta 31 diJ-dîdl^d^di-r^, 
Par conséquent, les seconds membres de (2) et (3)se dédoubleront, cha 
cun, en deux intégrales, dontl’une, f dm e t f —zib ——p~-\dm 
Jn d \ JxsdW' d\ r d\J 
respectivement, se réduira, par l’emploi de la première des formules 
citées (22) [p. 98*], à 
^pcos(n, \)da -f- / 4>pcos(/i, ç)î/o-! 
G d (7l 
et à 
ÿ — P ^cos(»,£)rf<Ti, 
si l’on y sépare, comme on voit, ce qui se rapporte aux deux parties <r, 
B. — II. Partie complémentaire. i3