jn6* DU POTENTIEL SP1IÉUIQUE OU POTENTIEL 
que r est constant sur toute la sphère a, d’étendue 4"/‘ 2 , il viendra 
p de . P ch 
(7) 
<î> 
= f^ = A-Kr fp* 
X >• X a 
Nous appellerons potentiel sphérique cette fonction <I>, qui est un 
potentiel rapporté à l’unité d’épaisseur de la couche sphérique mince 
pour laquelle on le prend. Il égale, comme on voit, le produit de 4r.r 
par la moyenne, f p—> des valeurs que reçoit la densité p de la ma- 
tière potenliante sur toute la surface a située à la distance constante/- 
du point potentié (x,y, z). Donnant une infinité de potentiels o dif 
férents quand, sans rien changer à l’épaisseur e de la couche, on fait 
varier son rayon r, il constituera une fonction des quatre variables 
indépendantes x, y, z, r, dont les trois premières détermineront ses 
changements liés aux déplacements du centre (x, y, z), ou étudiés 
implicitement ci-dessus, et, la quatrième, ses changements produits 
malgré l’immobilité de ce centre, mais par le simple fait de la varia 
tion du rayon r. Ainsi, le potentiel sphérique est un potentiel à quatre 
variables. 
Sa propriété la plus importante résulte de l’équation (6), où il faudra 
remplacer cp par £$ = (/*!—r)*!», avec i\—r constant, et observer 
que les normales dn, dn y se trouveront menées vers le centre {x,y, z), 
ou à l’opposé, suivant qu’il s’agira des éléments da de la sphère inté 
rieure 4Tir 2 , ou des éléments ch y de la sphère extérieure l\r.r\. Donc 
l’expression —yy sera la dérivée de rp prise en allant d’un point de la 
sphère de rayon au point le plus proche de la sphère concentrique 
de rayon r — dr, et pourra s’écrire 
d.r x pi 
dr y 
d.rç) . . d.r] p. ,, 
-—Au contraire, —r- 1 - se- 
dr cliii 
Et comme, d’ailleurs, rien n’empêche de délimiter les 
éléments da, sur toutes ces sphères décrites autour du centre (x,y, z), 
au moyen de surfaces coniques infiniment aiguës ayant ce centre pour 
sommet, de manière que les rapports ~soient constants dans 
le passage d’une sphère à l’autre suivant un rayon quelconque, c’est- 
à-dire dans ce que nous appelons une différentiation par rapport à r 
x t • d.r a dz d.r, p, dz< -, 
ou a /q, les deux expressions reviendront a 
— ffr ( r ^ 7^)’ ~Êr ( / " 1 P 1 ^* ar Sll ^ te ) leurs sommes jT ou J ■> 
relatives à toutes les orientations du rayon r ou i\ autour du centre