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A QUATRE VARIABLES; EXPRESSION DE SON PARAMETRE A a . iÿ-j* 
{x,y, z), seront la dérivée en r ou en r n changée ou non de signe, 
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de la somme correspondante des éléments r p —, /*! pj —~, somme 
• i • * T pda , C pi da\ , , 
identique a J ou a j —■? et qui n est autre chose que la va 
leur, <ï> ou c Iq, du potentiel sphérique, relative à la sphère a ou à la 
sphère cq. 
Donc le second membre de (6) se réduit à —~ , tandis 
ctv cl]' i 
que le premier est (t\— /•) A 2 <ï>. Divisons par la différence infiniment 
petite i\— /• et, en nous rappelant que le rapport d’un accroissement 
d<\> 
élémentaire de la fonction àl’accroissementsimultanér, — r de sa 
dr 
variable r est la dérivée en r de cette fonction, il viendra A., <3? = —, 
dr- 
c’est-à-dire 
d i( \> __ d 1 ^ d 1( \> d 2 <l> 
dr 2 dx- dy 2 ‘ dz 2 
(8) 
Ainsi, quelle que soit la fonction continue p(£,r¡,£) exprimant 
le mode de répartition, dans Vespace, de la masse potentiante, le 
potentiel sphérique a sa dérivée seconde, par rapport au rayon r, 
égale ci la somme de ses trois dérivées secondes directes par rap 
port aux coordonnées rectangulaires du point potentié. 
Observons encore que le potentiel sphérique et ses deux premières 
dérivées en r prennent des valeurs simples quand cette variable r 
s’annule. Pour le reconnaître, supposons très petite la sphère a, et 
menons-v en tous sens des diamètres ir. La densité p, fonction de 
point graduelle par hypothèse, variera, d’une extrémité de l’un quel 
conque de ces diamètres au centre (x,y,z), autant que du centre 
à l’autre extrémité, sauf erreur de l’ordre de r 2 . Par conséquent, la 
valeur de p au centre, c’est-à-dire p{x,y, z), égalera, avec une erreur 
de cet ordre seulement, la moyenne arithmétique des deux valeurs de 
p en deux points opposés quelconques de la sphère et aussi, par suite, 
la valeur moyenne générale de p sur toute la sphère a. Le potentiel 
sphérique, produit de cette dernière moyenne par 4^r, sera donc 
L\Tzrç(x,y, z), abstraction faite d’une partie comparable à r 3 ou qui, 
pour /• — o, a en quelque sorte un contact du second ordre avec zéro. 
Ainsi, la valeur et les deux premières dérivées en r de cette partie 
ne pouvant différer de zéro quand r s’annule, le terme principal 
h~rp{x,y, z) donne 
d<P 
dr 
— 4 TCp(o7,7,3), 
d l <î> 
dr' 1 
— o. 
(9) (pour/' = o) 
<ï> = o