lg g* PROPRIÉTÉS DU POTENTIEL SPHÉRIQUE. 
Les valeurs de <b et de ses dérivées en r sont encore plus simples 
pour les valeurs de r supérieures à certaines limites, du moins quand 
la matière potenliante est bornée dans tous les sens. Alors, en effet, 
l’on pourra, où que soit le centre (#,/, z), prendre /-assez grand pour 
que la sphère a la contienne toute à son intérieur, et l’on aura, dans 
(y), p — o, <b = o. Le potentiel <b s’annulera donc, avec toutes ses dé 
rivées en r, si r est assez grand. 
Enfin, l’équation (8), se trouvant vérifiée identiquement par la 
fonction f b, peut être différentiée à volonté en x, y, s, r. Or différen- 
tions-la, par exemple, en /•; et elle donnera une équation de même 
forme que (8), sauf la substitution, à la fonction ‘b, de la fonction 
^. Celle-ci, d’après (9), reçoit, pour /• —o, la valeur 4r.p{x,y,z), 
mais a sa dérivée en r alors nulle, tandis que la fonction <b a, au con 
traire, pour /' — o, sa valeur nulle, mais sa dérivée en /■ égale à 
4îcp{x,y,z). Donc le potentiel sphérique d’une masse distribuée 
arbitrairement dans l’espace fournit pour Véquation (8) deux 
sortes de solutions, permettant de se donner ci volonté, quand r = 0, 
dans l’une, les valeurs de la fonction et, dans l’autre, celles de sa 
dérivée première par rapport à r, en tous les points (x,y,z) de 
l’espace. On verra dans la XLYl e Leçon l'importance de cette re 
marque, pour l’intégration d’une équation aux dérivées partielles 
appelée équation du son. 
333*. — Autre potentiel, analogue au potentiel sphérique, mais appli 
cable dans des espaces ayant, à volonté, une, deux ou trois dimen 
sions. 
Comme le potentiel sphérique ‘b est simplement proportionnel au 
produit de la variable r par la valeur moyenne de la densité p en tous 
les endroits situés à une même distance r du point potentié, il serait 
facile d’introduire au lieu de «b, dans l’équation (8), cette valeur 
moyenne de p, que nous appellerons simplement 0', et qui se trouve 
ainsi jouir de propriétés simples, méritant d’être connues. Seule 
ment, les déductions précédentes, basées sur l’hypothèse 6 = ^ qui 
ne donne que dans un espace à trois dimensions, ne con 
duiraient pas, du moins directement, aux propriétés dont il s’agit, 
pour le cas tout aussi important d’un espace plan ou à deux coor 
données x, y, sur lequel serait disséminée une matière ayant par 
unité de superficie une masse donnée p(ç, r,). Or il est facile d’em 
brasser à la fois les trois cas de m dimensions, m étant 1, 2 ou 3.