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PARAMÈTRES DIFFÉRENTIELS D’ORDRE PAIR
( ainsi qu’il vient d’être remarqué ) la dérivée — constitue, pour
l’équation (u) ou (i3), comme quand ni — 3, une deuxième solution,
mais une solution ayant, d’après (12 ), sa valeur nulle à la limite r — o.
lit, en effet, p' n’est alors la moyenne que des deux valeurs p(#+ /*),
p{x-
(
— /•) ; ce qui donne
(pour rn = 1)
04) 1
|
, ^ p(a? 4- /■) -+- p O
— r ). ( p oü d& __ p'{x + r) — p'{x — r)
(
1 ^ -
dr 1
Or on vérifie aisément que ces expressions de ‘1» et de sa dérivée
en /•, mises à la place de <1> dans l’équation (i3) réduite à ~~[~p
y satisfont bien.
354*. Paramètre différentiel, d’un ordre pair quelconque, d’une fonc
tion de point, et puissances paires quelconques de son paramètre dif
férentiel du premier ordre.
la fonction p', on fait varier r
Quand, dans l’expression Çp— de
en laissant x, y,. .. constants, les valeurs de p dont p'exprime la
moyenne sont prises le long de chemins rectilignes, r, qui croissent à
la fois des mômes quantités dr sans qu’aucun change de direction;
et une dérivée d’ordre quelconque de p' en /‘est, par suite, la moyenne
des dérivées de môme ordre de p le long de ces chemins, à une même
distance r de leur point commun de départ {x,y, . . .). En d’autres
termes, on a, quel que soit l’ordre p des dérivées considérées,
— f Or, la fonction p étant supposée graduellement va-
(J
riable, ainsi que ses dérivées partielles, celles-ci, prises le long de
droites d’orientation quelconque, ont, aux divers points d'une figure a,
très sensiblement les mêmes valeurs qu’en son centre (x,y,...),
lorsque son rayon r devient extrêmement petit; et, prendre la moyenne
des dérivées d’ordre p de p suivant tous les rayons divergents r, sur
une telle figure a, c’est la même chose, à la limite, ou quand r s’an
nule, que de former la moyenne des valeurs reçues, au point {œ, y,... ),
par la dérivée , le long de droites infiniment petites ds issues de
ce point et distribuées indifféremment dans toutes les directions.
Ainsi, l'on aura
