DES FONCTIONS DE POINT : LEUPv EXPRESSION GÉNÉRALE. 
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Les moyennes des dérivées d'ordre pair, ou pour lesquelles p sera 
de la forme 2/1, offriront seules de l'intérêt ; car les autres, d’ordre 
impair, seront identiquement milles. En effet, si l’on considère, à 
l'endroit {x,y,...), deux chemins infiniment petits de sens con 
traires, ou mieux le même chemin parcouru successivement dans les 
deux sens opposés, les deux dérivées premières de p obtenues y seront 
évidemment, en chaque point, deux fonctions égales et contraires. 
Par suite, ces deux dérivées, si on les prenait avec signe pareil, don 
neraient elles-mêmes, en les différentiant dans les deux sens, deux déri 
vées de signes contraires. Donc, prises avec leurs signes effectifs qui 
sont contraires, elles auront leurs propres dérivées, ou dérivées se 
condes de p, identiques. On voit, en continuant à raisonner de même, 
que les dérivées d’ordre impair, en (ce, y,...), suivant deux direc 
tions opposées, se neutraliseront ou auront leur moyenne nulle, 
tandis que celles d’ordre pair y seront égales et donneront, en général, 
quand on les combinera avec celles d’autres directions, des moyennes 
d in 0' 
—— 1 — différentes de zéro. 
dr-' L 
La considération de la fonction p' permet d’arriver* à l’expression 
générale de ces moyennes par les dérivées 2« ièmes de p en ce, y,..., 
beaucoup plus simplement que si l’on employait la méthode suivie 
vers le commencement du Cours ( t. I, p. 70*) dans le cas de la dérivée 
seconde. Il suffit, pour cela, de développer la fonction p' suivant les 
puissances ascendantes de sa variable r supposée très petite, en utili 
sant l’équation (11) [p. 200*]. Un tel développement est légitime; car 
les dérivées successives de p suivant une direction quelconque, au 
point {ce, y, . . .), se trouvent, par hypothèse, finies, de sorte que leurs 
moyennes ne peuvent manquer de l’être, et la formule de Mac Laurin 
est applicable tant à p' qu’à ses dérivées en /•, Or cette formule, ap 
pliquée à en observant que l’annulation des dérivées impaires 
de p'pour r — o y fait disparaître les termes correspondants, don 
nera, si l'on désigne par A 2 , A 4 , A 6 , .,. les dérivées inconnues se 
conde, quatrième, sixième, . . . de p' en r quand r — o, 
(.6) 
1.2 
A b 
1.2. à . 4 
Multiplions cette relation par dr et intégrons chaque terme à partir 
de r — o, en nous souvenant que s’annule, à cette limite, d’après 
la dernière (12); puis effectuons sur le résultat une intégration ana-