DES FONCTIONS DE POINT : LEUR EXPRESSION GÉNÉRALE.
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qu’indique A 2 , ou qui consiste à prendre le paramètre différentiel
Quant au développement (17) de p', il devient
‘2 p c 2 A 2 A 2 p r* A, A, A., p 7’ fi
1 7 L - r -i —, '■■■• -
(21) p'=p
I ~ —1— —
m 2 m{m-h 2)2.4 m{m -h i){m -(- 4) 2.4.6
• * :
où l’on voit que les dénominateurs sont respectivement : 1.2, 1.2.3.4,
1,2.3,4.5.6,. . . dans le cas m = 1 ; 2 2 , 2 2 .4 2 , 2 2 .4 2 .6 2 ,. . . dans le
cas m = 2; et 2.3, 2.3.4-5, 2.3.4.5.6.7,... dans le cas ni = 3.
La première formule (20) est Lien celle qui nous a servi (t. 1,
p. 71*) à définir le paramètre différentiel du second ordre d’une fonc
tion de point. Or on peut, de même, appeler, en général, paramètre
différentiel d’un ordre pair quelconque, pour une fonction de
point, i expression la plus simple représentant, à un facteur nu
mérique près, la moyenne des valeurs que prend en un point donné
la dérivée de même ordre de la fonction suivant toutes les droites
qui s’y croisent. Les paramètres différentiels du quatrième, du
sixième, . . ., du 2/i ième ordre, seront alors, d’après les formules (20),
A 2 A 2 p, A 2 A 2 A 2 p, ..., ( A 2 )" p ; ils s’obtiendront tous par de simples ré
pétitions de l’opération consistant ci prendre le paramètre diffé
rentiel du second ordre A 2 .
On observera que la dernière formule (20) devient respectivement,
dans les trois cas m~i, m — 2 et m = 3 :
(22)
cl'2np ... ,
Le calcul de la valeur moyenne de -jffi conduit ainsi à une géné
ralisation de la dérivée naturelle ou paramétrique A 2 p. Or celui de la
même, une généralisation de
cet autre paramètre différentiel, dit du premier ordre, dont le carré
est proportionnel à moy. En général, p étant un exposant
entier et positif quelconque, l’expression de la valeur moyenne de