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CARACTÈRE DISTINCTIF DES POINTS DE JONCTION OU DE BIFURCATION
f{x _|_ £j Y) — f{x -+- s, y), qu’elle prend à la limite supérieure, et le
dernier membre de (2) se trouve moindre, en grandeur absolue, que
[/O H- s, Y)—/(a?
r
dx — [/(a? -+- s, Y)—f{x^~z,y)\z.
La relation (2) donne, par conséquent,
( Y — y < [f{x -4- e, Y) f{x
(3) (en val. absolue) < j\x
s, Y)
Y
'+ £ >r) > 1
-y ^ £
Faisons tendre maintenant s vers zéro. Le second membre de la
dernière inégalité deviendra infini, ainsi que le premier, à plus forte
raison ; et, d’ailleurs, ce premier membre, qu’on peut écrire
cl f (oc 'y')
(en posant ky = Y —/), tendra vers ■■ , - - • On aura
AT
d Y
<4)
df(x,y)
dy
H - 1
fy{x,y)
C’est donc tout au plus pour Les systèmes de valeurs de x et y qui
rendent infinie la dérivée partielle -, ou nul son in-
1 dy dy
verse, que deux intégrales différentes peuvent se réunir ou se séparer.
Or égaler à zéro l’inverse de fÿ{x, y), c’est poser entre x et / une
certaine relation, qui représente bien une courbe quand on peut en
tirer pour y des valeurs finies en fonction de x ; mais qui, dépourvue
de constante arbitraire, n’exprime jamais une famille de courbes cou
vrant une partie finie du plan ou permettant de se donner arbitraire
ment dans un certain intervalle, pour toute valeur x 0 de x choisie
comme valeur initiale, la valeur correspondante y 0 de la fonction.
Donc, il n’existe qu’une seule intégrale générale y — F {x, y Q ) ; et,
quand Véquation y' — f{x,y) admet en outre quelque autre inté
grale, c’ést-à-dire une solution singulière, on l’obtient en cher
chant, parmi les valeurs de y, fonctions de x, qui vérifient l’équa
tion fy{x, y) — ± 00, s’il en est dont la dérivée égale constamment
362*. — Calcul direct des solutions singulières et des systèmes de va
leurs des variables pour lesquels des réunions ou des séparations
d’intégrales sont possibles.
Ainsi les solutions singulières, quand elles existent, se trouvent en
résolvant par rapport à y l’équation fÿ{x,y) — ± 00, sans qu’on ait
