XJ EUX DES POINTS DE JONCT. OU DE BIFÜHCAT. DES INTÉGRALES 
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on 
y aura bien, 
généralement, 
dy' 
dy 
±°o> bu/;0,j) — ±00. 
Toute courbe de la famille, dès qu’on l’astreindra à présenter en 
un de ses points (x 0 ,y 0 ), non situé sur la ligne f'.{æ,y)—±o0, 
une pente y' 0 égale à une certaine racine de l’équation proposée 
¡’(¿r 0 ,y 0 , y’ 0 ) = o, se trouvera donc parfaitement définie de proche 
en proche par cette équation différentielle (’(¿c, y, y') — o, ou 
Y r =f{x, y), jusqu’au point où elle atteindra la ligne fÿ.{œ,y)-=± 00. 
Mais, à partir de ce point, la suite du tracé ne sera généralement 
plus déterminée par l’équation différentielle seule; car, d’ordinaire, il 
y aboutira ou il en partira plusieurs arcs la vérifiant également, soit 
que certains de ces arcs fassent suite au précédent, sans aucun brusque 
changement de direction de la tangente, comme il arrive surtout dans 
le cas d’une enveloppée aboutissant tangentiellement à son enveloppe 
et qui se continue au delà, où elle est aussi continuée par l’enveloppe 
même, soit que, au contraire, les arcs dont il s’agit ne soient pas les 
prolongements les uns des autres, mais, par exemple, émanent du 
point considéré, ou y aboutissent, suivant la même direction, de ma 
nière à ne se faire suite mutuellement, et à ne pouvoir être associés, 
qu’à la faveur d’un rebroussement. La détermination de la courbe 
devra donc, généralement, aux points où f y {x,y) =± 00, être com 
plétée par des conditions accessoires, telles que serait la supposition 
d’une équation finie unique y = F {oc, y 0 ) sur toute la longueur, sorte 
d’extension de la loi de continuité, qui empêcherait de passer d’une 
enveloppée à l’enveloppe, ou vice versa, etc. 
363*. — Propriété qu’ont ordinairement ces systèmes de valeurs, de re 
présenter des enveloppes, tangentes ou non à leurs enveloppées ex 
primées par l’intégrale générale. 
La propriété dont jouit la ligne fÿ (¿c, y) =.± 00, de fournirions 
les points {œ,y) de réunion ou de bifurcation des intégrales de 
l’équation proposée y' —f[x, y), fait, en général, de cette ligne, 
quand elle existe, ou de certaines de ses branches, une limite sépa 
rant la partie du plan couverte par les courbes y = F{cc,y 0 ), de celle 
qu elles n’occupent pas, ou, autrement dit, l’enveloppe de la famille 
de courbes, en comprenant, sous ce nom d'enveloppes, même des 
lignes limites non tangentes aux enveloppées. 
En effet, observons d’abord que, dans le cas le plus simple, quand 
une famille de courbes ne couvre pas tout le plan (t. Í, p. iq5*), ou en 
paitage 1 étendue avec d’autres familles, chaque bord du champ