d’une ÉQ. DIFFÉRENT. : ENVELOPPES, TANGENTES OU NON AUX ENVELOPPÉES. 233* 
qu’elle occupe constitue une ligne asymptote de la famille, comme le 
montre (t. 1, p. 242*) l’exemple du faîte et du thalweg des lignes de 
pente sillonnant un même versant du sol, vues en projection horizon 
tale. Ce cas est bien le plus simple, le plus conforme à l’hypothèse 
d'une continuité parfaite et d’une complète détermination analytique 
des courbes, puisqu’il ne s’y produit nulle part de croisements de 
celles-ci, ni même de réunion ou de séparation de rameaux leur appar 
tenant. Il n’y a donc pas alors d’intégrales singulières, ni de racines 
égales y' de l’équation (’(¿p,y, y') =. o, et, par suite, la courbe 
f' y {x,y) — ± cc n’existe généralement pas, du moins dans l’étendue 
considérée. 
Mais exceptons ce cas et admettons, par conséquent, que les courbes 
de la famille y — F (¿p, yf) puissent atteindre le bord de l’espace où 
elles sont contenues. Alors il faudra : t° ou bien, que ces courbes, en 
y arrivant, ne cessent pas d’être continues et se prolongent sans dévia 
tion sensible, rasant ainsi le bord qui constituera dès lors une enve 
loppe au sens ordinaire et représentera en général une solution sin 
gulière de l’équation y' — f{cc,y) ; 2° ou bien, au contraire, que ces 
courbes y soient discontinues, circonstance impliquant presque tou 
jours (vu la rareté des points d’arrêt et des points anguleux) un ren 
versement brusque de la direction de leur tangente, et qui fera, par 
suite, du bord, alors ligne de rupture pour les courbes de la famille, 
le lieu de leurs rebroussements ou des points de soudure de leurs 
branches interrompues, mais mutuellement tangentes. Or, dans les 
deux cas, la limite, l'enveloppe, se trouve constituée par des points 
de réunion ou de séparation d’intégrales; d’où il suit qu’elle a bien 
son équation comprise dans la formule fÿ{cc, y) — ±ao ('). 
36a*. — Des solutions qui rendent infini le facteur intégrant et, notam 
ment, des intégrales soit singulières, soit asymptotes. 
La connaissance du facteur d’intégrabilité v ( 2 ) ne conduit pas seule 
ment à l’intégrale générale y) — c, dont elle ramène la recherche 
à l’effectualion de certaines quadratures : elle permet aussi d’obtenir, 
(’) Le géomètre philosophe Cournot, Inspecteur général des Études, avait déjà, 
en iB-ji, reconnu, sur des équations différentielles du premier ordre et du second 
degré, ce fait, que la ligne limitant le champ des courbes définies par une telle 
équation ne leur est généralement pas tangente, mais constitue le plus souvent 
pour elles un lieu de points de rebroussement ( Traité élémentaire de la théorie 
des fonctions et du Calcul infinitésimal, par M. Cournot, iS/ji; t. II, p. 343.) 
( -) Voir la Partie élémentaire, p. 183.