CONDITIONS D’UNE PLURALITE »’INTEGRALES J 
cées sous les signes f ne peuvent que varier toujours dans un même 
sens entre les limites x et x -+- e, dont l’intervalle est, pour ainsi dire, 
infiniment petit; en sorte que, s’annulant à la première de ces limites, 
elles reçoivent leurs plus grandes valeurs absolues à la limite x -+- s. 
On aura donc, par exemple, 
en val. abs.) \ 
ou Y — y < [fi {x -+- s, Y, Z,... ) — /10 + s, J, s. ...)]£, 
et cette inégalité, avec les autres analogues, donnera, ci moins que les 
différences Y — y, Z — z, ... ne soient milles, 
> -» 
(4 ) (en val. abs.) < 
> -1 etc. 
Si, actuellement, s et, par suite, Y —y, Z — 5, .. . tendent vers zéro, 
les seconds membres de (4) deviendront infinis et il en sera de même, 
à plus forte raison, des premiers. C’est dire que les variations éprou 
vées par les fonctions . . ., quand les variables/, z, u, ... y 
reçoivent les accroissements évanouissants Y — y, Z — z, U — u, 
(dont un au moins diffère d’abord de zéro), sont infiniment moins pe 
tites que ceux-ci : circonstance qui serait évidemment impossible si 
toutes les dérivées partielles premières des, fonctions J\, ... en 
y, z, u, ... étaient finies et si, par suite, les différentielles considé 
rées de f lf f, ... se trouvaient seulement comparables à la plus 
grande des différentielles Y — /, Z — z, .... 
Donc, les seules valeurs de x, y, z, u, ... à partir desquelles il 
puisse exister plusieurs intégrales du système proposé d’équations 
différentielles ( résolu par rapport aux dérivées y', z', u', . ..) sont 
celles qui rendent infinie une au moins des dérivées partielles pre 
mieres des seconds membres ... de ces équations par rapport 
aux fonctions inconnues y, z, .... Or ce seront évidemment des va 
leurs trop spéciales, pour qu’on trouve à choisir arbitrairement, parmi 
elles, j 0 , z 0 , u 0 , . . ., quand x est la quantité, prise également à vo 
lonté, qu’on appelle x 0 . Eu d’autres termes, il n’existe aucun autre 
système d’intégrales générales que le système (2) [p. 190] et toutes 
les solutions singulières, ou non comprises dans ces intégrales, que 
peuvent admettre les équations proposées, s’obtiendront en égalant