INTEGRALES SINGULIERES ET INTÉGRALES ASYMPTOTES
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à l’infini les dérivées partielles des seconds membres de ces équa
tions par rapport à y, z, u, ....
375*. — Propriété qu’ont les solutions singulières et, sous certaines
conditions, les solutions asymptotes, de rendre infinis un ou plusieurs
des facteurs d’intégrabilité.
Il est bon de remarquer qu’il n’y a qu'un seul cas où l’on n’ait pas
le droit de multiplier, comme on l’a fait au numéro précédent (Par
tie élémentaire, p. 191), les équations proposées dy—f x dx — o,
dz—f^dx — o, ..., par les facteurs f-i •••> et puis de les
ajouter pour en déduire l’équation dv — o : c’est le cas où l’un au
moins des facteurs considérés est infini d’une manière continue,
c’est-à-dire pour les valeurs successives considérées de x, y, z, u, ....
Donc, toutes fonctions j', z, u, ... de x qui satisfont* aux équations
proposées dy — f v dx ~o, dz — f^dx = 0, .. ., vérifient également
la relation dv — o et aussi, par suite, l’équation intégrale o — c, à
moins qu’elles ne rendent sans cesse infini quelqu’un des facteurs
. . , cio ,
d’intégrabilité correspondants ^ ^ -■ En conséquence, les so-
■)
lutions singulières que peut admettre le système proposé, et qui
échappent à une intégrale générale cp — c, s’obtiendront en éga
lant à l’infini les divers facteurs d’intégrabilité employés pour
former cette intégrale.
Les solutions singulières ne sont, d’ailleurs, pas les seules aux
quelles on parvienne généralement en égalant ainsi à l’infini les fac
teurs d’intégrabilité. Les intégrales que j’appelle asymptotes, c’est-
à-dire dans le voisinage desquelles se trouvent, pour une valeur dési
gnée quelconque de x, certaines intégrales particulières y différant
entre elles incomparablement moins qu’elles ne le font pour d’autres
valeurs de x, s’obtiendront en même temps, comme dans le cas d’une
équation différentielle unique (p. 235*) ou d’une simple famille de
courbes planes, si du moins les n constantes c ont pu être choisies de
manière que leurs petits changements Ac soient de l’ordre des écarts
A>-, A^, A u, ... les plus grands entre les deux fonctions correspon
dantes y, ou z, ou u, etc. Partout, en effet, où, dans ces conditions,
des intégrales voisines seront infiniment plus proches qu’ailleurs,
leurs écarts mutuels A y, A z, A u, ... se trouveront tous infiniment
moindres que la différence A c éprouvée de l’une à l’autre par leur pa
ramètre c, qu’exprime la fonction cp(x,y,z, u, ...); ce qui, évidem
ment, ne pourrait avoir lieu pour des valeurs de x, y, z, u, . . . ren-