348* SOLUTION SINGULIÈRE ü’UNE ÉQUAT. DIFFÉRENT. D’ORDRE SUPÉRIEUR. 
dant finies toutes les dérivées partielles premières de <p en y,z, u,. . . 
et donnant sensiblement une expression de Ac, 
A c = 
seulement comparable à la plus grande des quantités Ay, As,. . .. 
On voit, par tout ce qui précède, comment les propriétés générales 
de l’équation différentielle du premier ordre s’étendent à un système 
de telles équations simultanées. 
378*. — Sur les solutions singulières des équations différentielles 
d’ordre supérieur. 
Observons que l identité (12) (*), où le second membre do est une 
différentielle complète d r o, revient, en la divisant par i; 
dy { ” 
dx, à 
ecnre 
(i3) 
y 
(«) 
f{x,y,y',y",.. .,7 ( «-D) 
1 
do 
d c o 
dx 
dy { 
On peut donc satisfaire à l’équation proposée yd ,J )— J — o, soit en 
annulant ou posant o ~ c, ce qui donne l’intégrale générale pre 
mière considérée, soit en égalant à zéro J’inverse du facteur - 7 - -- 
’ b dy {,l - l) 
cl’intégrabilité, c’est-à-dire en égalant à l’infini ce facteur, pourvu 
que, du moins, il résulte de l’équation ainsi écrite, ^ — — ce, 
une expression dey', eu fonction de x, capable de donner y ( - n ’>— f — o, 
comme il arrivera si cette expression ne rend pas infinie la dérivée 
complète • Or, égaler ainsi à zéro l’inverse du facteur 
1 dx ’ 0 dy (,l ~ ]) 
qui est une fonction explicite, censée connue, de x,y,y',y", . .. 
cela équivaut évidemment à poser une certaine équation différen 
tielle d’ordre n— 1 en y, sans constante arbitraire, équation dont 
l’intégrale générale, annulant O")—f autrement que dans l’hypo 
thèse cp = const., sera évidemment, malgré ses n— 1 constantes ar 
bitraires, la solution singulière de la proposée yd")—y—o. Par 
conséquent, dans une équation différentielle d’ordre supérieur, la 
solution singulière, quand elle existe, contient généralement des 
(') Voir la Partie élémentaire, p. iy4.