EXEMPLES D’ABAISSEMENT D’ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
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constantes arbitraires, mais jamais autant que Vintégrale géné
rale; et on la trouve par Vintégration de l’équation obtenue en
égalant à Vinfini le facteur d’intégrabilité qui conduit ci une inté
grale générale première.
382*. — Exemples des cas les plus simples d’abaissement : courbe plane
ayant sa courbure fonction soit de la distance à une droite fixe, soit
de la normale; courbe élastique.
Comme exemple du premier cas d’abaissement (*), proposons-nous
de trouver l'équation finie y — f(x) d’une ligne plane dont la cour-
bure, ± (i -\-y' 2 ) ~ y", en chacun {x, y) de ses points, égale une fonc
tion donnée ©(¿c) de l’abscisse, distance à une droite également don
née choisie comme axe des y; ce qui, par une rotation arbitraire a
des axes rectangles des x et des y autour de l’origine (rotation où
l’abscisse actuelle x devient ¿rcosa—jysina), comprend le cas
d’une courbure ayant pour expression ^(¿pcosa — rsina) et, par
suite, fonction arbitraire donnée d’une expression linéaire quelconque
A#-H B y H- C, toujours susceptible en effet, grâce à un choix con
venable de deux constantes k et a, de recevoir la forme
(k cosa)# -f- (— k sina)y -t- G,
où l’unique variable est bien xcosa—-y sin a.
L’équation différentielle du problème posé sera donc
_3 _3
(16) (1 - ■ y'-) 3 y" = <?(x) ou -(i-t-jk' 2 ) *dy'—o(x)dx.
Comme elle ne contient pas y, le choix de y 1 en qualité de fonction
inconnue provisoire l’abaisse au premier ordre; et l’on voit même,
après sa multiplication par dx, que les variables y sont séparées. La
3
différentielle binôme (1 4- y' 2 ) i dy' rentrant d’ailleurs dans le second
cas d’intégrabilité (p. 53), l’adoption de y M +i comme variable
auxiliaire donne aisément
/0 = (/-* + !) 2 = 7-- J " »
J /x +y 2
ce que montre après coup la différentiation immédiate du résultat :
et il vient, pour l’intégrale première de (16), avec une constante arbi-
(•) Voir la Partie élémentaire, p. 198.
