COURBES DEFINIES PAR UNE RELAT. ENTRE LA COURBURE ET LA NORMALE. 253* 
t — \oL 2 —[Usines. Or cela revient, en définitive, à poser, dans (21), 
non plus x — \m 2 -h a 2 cos©, mais 
(24) x = \/(a 2 m*) — 1m 2 sia 2 & = y/a 2 -+- 1 n 2 y/1 — K 2 sia 2 ©, 
où K 2 désigne le rapport —-, actuellement inférieur à l'unité; et 
11 a 2 -+- tn 2 
l'on procède comme dans le cas précédent, après avoir observé que 
do 
l'expression - 
se réduit à — 
y/ni 1 *—- ( a 2 — x 2 ) 
y/« 2 -h/« 2 y/ 
i — K 2 sin 
Il vient des résultats analogues, encore réductibles aux intégrales 
elliptiques E(K,o), F(K, o). 
Pour donner enfin un exemple du second cas d’abaissement (p. 198), 
supposons que la ligne à construire doive avoir sa courbure, censée ici 
prise toujours avec le signe de y", fonction non plus de la distance à une 
droite fixe, mais de la normale N =zy y'1 -hy' 2 (t. I, p. 198), prise de 
même avec le signe de y. Alors l’équation différentielle sera de la forme 
(1+/ 2 ) -y"= ®GVn-/ s )> 
(25) 
c’est-à-dire qu’elle ne contiendra pas la variable indépendante x. 
Elle s’abaissera donc au premier ordre en y choisissant/pour variable 
et y' pour fonction. Son premier membre, d’après les formules (i5) 
ou bien — 
en y introduisant la normale N à la place de y'; et l’équation (25), 
multipliée par N 2 c/r, sera 
y d~S — IVdy — N 2 ©( N )dy ou —y dN -t- [ V -+- N 2 o (N)] dy = o. 
Les variables s’y séparant immédiatement, une intégration donne 
équation finie en y et N, mais différentielle du premier ordre en y 
quand on y remplace N par y \J i H- y 1 '. Si l’on peut alors la résoudre, 
soit par rapport à y', soit par rapport à y, les procédés exposés aux 
n os 367 et 371* (p. i83 et 243*) ramèneront enfin son intégration à une 
seule quadrature; car elle sera de l’une des deux formes y'=zty{y), 
y = y (/'). C’est ce qui arrive, par exemple, quand le rayon de cour 
bure est proportionnel à la normale, ou, ©(N), de la forme — •