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ENTRE TROIS VARIABLES, DONT DEUX SONT INDÉPENDANTES. 3*
en proche, soit en projection horizontale, soit dans l’espace avec l’ad
jonction de l’équation z — const., la direction suivant laquelle on
devra marcher pour construire les lignes en question. Si donc on peut
intégrer, comme on dit, l’équation différentielle y' — — y qui les
régit, c’est-à-dire former l’équation générale de la famille de telles
courbes situées sur chaque plan horizontal z — const,, cette équation
contiendra un paramètre c, sorte de numéro d’ordre caractérisant la
courbe dans sa famille (t. I, p. 125 ), en outre de z qui est un second
paramètre servant à distinguer chaque famille des autres; et, sup
posée résolue par rapport à c, elle sera de la forme c — F [x, y, z), où
F désignera une fonction désormais connue. Partout, d’ailleurs, les
deux dérivées de F en x et y seront respectivement proportionnelles à X
et à Y, puisque la valeur de “ tirée de cette équation c — F sans faire
, . . . , ¿/F r/F , , • i
varier s ni c, valeur qui est le quotient de — par — , égalé identi-
X d¥
quement — y * F)onc, si l’on appelle X le quotient de par X, quotient
désormais connu en fonction de x, y et z, on aura
(16)
S =lx> ^ = XY -
Or les courbes de niveau c = F{x, y, z), ainsi définies par deux
paramètres z et c, pourront, d’une infinité de manières, en passant de
chacune d’elles à toute autre juxtaposée ou très voisine, et ainsi de
suite, être associées en séries, couvrant et dessinant des surfaces parmi
lesquelles se trouveront évidemment celles qu’on cherche, si elles exis
tent. Il est clair que, dans toutes ces surfaces, ainsi formées débandés
élémentaires comprises entre deux lignes de niveau c — F(x,y, z),
le paramètre c varie avec z ou se trouve fonction de z. Donc leur
équation commune peut s’écrire c — F(#, y, z), pourvu que c y dé
signe une fonction arbitraire de la forme ^(s). Et il ne reste qu’à
choisir, s’il est possible, cette fonction c — ( H- S ), de manière à faire
vérifier ( 15) par tous les éléments rectilignes de la bande comprise
entre deux lignes de niveau consécutives, éléments qui joindront un
point quelconque {x, y, z) de l’une d’elles F{x, y, z)—ck tout point
voisin {x H- dx, y -+- dy, z -+- dz) de l’autre F (x, y, z) = c -t- de. Or,
d’après les deux équations évidentes,
c = F(x,y, z) et c de — F (a? -+- dx, y dy, z ■+■ dz),
la relation entre dx, dy, dz caractéristique, sur cette bande, de la