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ÉQUATIONS HOMOGÈNES; ÉQUATION BINOME DU SECOND ORDRE. v 
Donc l’équation rentre dans le type qui vient d’être examiné, où la 
fonction inconnue et ses dérivées ne figurent que par leurs rapports, 
et la transformation précédente permet d’abaisser son ordre d’une 
nouvelle unité. 
Enfin un troisième cas un peu plus complexe, reconnu, comme le 
premier, par Euler, concerne les équations qui, divisées par une puis- 
On les rend indépendantes de la variable et, par suite, susceptibles 
d’abaissement (p. 198), en choisissant pour cette variable le loga 
rithme naturel de x et pour fonction le rapport — > c’est-à-dire en 
la valeur de y, savoir e l a, donne, par sa différentiation répétée en x, 
et en multipliant finalement les dérivées obtenues par 1, x, x 2 , .. ., 
Y 
Or les expressions ainsi formées de -> y", xy", x*y'", . . . contien 
nent seulement u el ses dérivées en t, mais non, d’une manière expli 
cite, cette variable £; car les facteurs e~ l et e*, les seuls par lesquels 
elle y paraisse, sont en nombre égal dans chaque expression et s’y dé 
truisent. L’équation transformée s’abaissera donc à l’ordre n — 1, si 
l’on adopte a pour nouvelle variable indépendante et pour fonc 
tion inconnue ( 1 ). 
( l ) Abaissement de l’équation binôme du second ordre. — Le changement de 
variable qui consiste à poser t = x m et à choisir convenablement l’exposant m, 
ramène, en général, à celte troisième espèce d’homogénéité l’équation binôme 
i d , 
= — x'~ m — > donne, 
m dx 
en effet, pour le premier terme de l’équation binôme, une valeur proportionnelle 
x'~ m \ ou au produit de x' *'• par x + (1 — m) et, 
pour le second terme, une valeur proportionnelle au produit de #(«-0"•+*’+« par