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ABAISSEMENT D’UNE ÉQUATION LINÉAIRE, QUAND ON CONNAIT 
en Y ; . Cette transformée (82) devient donc 
(34) aY"+(2«'+P«)î'=o, ou 
équation linéaire et homogène comme la proposée (29), mais du pre 
mier ordre (en Y') et immédiatement intégrable. 
Si, par exemple, on a eu soin de faire préalablement disparaître de 
29) le second terme P y', ou que l’équation proposée soit réduite à la 
forme y" -\- Qy~ o, comme l’est la première (33) à laquelle se ra 
mène celle de Riccali, il vient, en multipliant la première (34) par 
adx, aïdY' -+- Y'<i.a 2 == o, c’est-à-dire, après intégration, a 2 Y'= une 
constante c; et l’on en déduit dY — — dx. II en résulte finalement 
oc 2 
-H const., y — a Y = a f c I — -4- const, j . 
En général, lorsqu’une équation différentielle est linéaire et sans se 
cond membre, c’est-à-dire de la forme Qy H- P/'-t- My".. + Ly 1 («)=o, 
il suffit d’en connaître une solution particulière a (autre que zéro), 
fonction variable de x donnant Qa + Pa'i-Ma ,, + ..,=:o, pour que 
la même substitution y— aY abaisse son ordre d’une unité, sans lui 
faire perdre la forme linéaire et homogène. Car, vu les expressions 
(du premier degré en Y, Y', Y", . . .) 
= a Y, y' = a'Y -+- aY' 
(36) 
le premier membre de l’équation proposée deviendra évidemment une 
somme, linéaire en Y, Y', . . ., Y< w >, dans laquelle s’évanouira le terme 
en Y, affecté du coefficient total, identiquement nul, 
Qa + Pa'+Ma'+... 
Donc l’équation sera bien, par rapport à la dérivée Y', linéaire et de 
l’ordre n — 1. 
Si l’on connaît, à la proposée, une deuxième solution, y— ff, 
^ — dx (a) —~dx (a) Iie sera ^ as nu ^ e • e ^ e constituera donc une 
solution bien propre à l’équation en Y' ; ce qui permettra d’abaisser 
encore l’ordre de celle-ci. De même, un nouvel abaissement analogue 
est possible quand on donne une troisième intégrale particulière y = 7, 
ce qui fait qu’on en connaît deux pour l’équation différentielle en Y';