INTÉGRALES DÉFINIES DE LAPLACE. 
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intégrale / vérifie l’équation y"z=y; et elle y a son expression de la 
forme C\ colix c 2 sihx on (cq H- c 2 )e x -+- (<q—cf)e~ x . D’ailleurs, 
restant sans cesse, d’après la première formule (4$), inférieure en 
/° 00 do tu , • • 
valeur absolue à / i '^ =~* elle ne devient pas infinie pour 
x — 00, alors que l’évanouissement de e~ x la réduit à 
(cq-t- c 2 )e x = (cj -4- c 2 ) x so; 
elle coefficient c x -+- c 2 doit nécessairement s’annuler, ou l’intégrale 
être proportionnelle à e~ x . Or, à la limite x~z où e~ x — 1, sa valeur 
i* 50 do 
n’est qu’infîniment peu au-dessous de / car le facteur 
Jo i -h a- 
cos(^ra) y atteint l’unité dans tous les éléments influents qui corres 
pondent à a fini. Donc, le rapport constant c { — c 2 de / à e~ x égale 
et il vient, pour toutes les valeurs positives de x, / — -e~ x \ d’où 
-y 
TC 
- e~ x . 
2 
En résumé, l’intégrale / constituant une fonction paire de x et, sa 
dérivée/', une fonction impaire, on aura, en appelant \Jx 2 la valeur 
absolue de x : 
(50 
j: 
1: 
cos (era) d% ce _ v /7î 
i -f- a 2 2 
a sin (era ) cl a 
Í 
11 sin u du 
o—y 
De ces deux intégrales remarquables, calculées en premier lieu par 
Laplace, la première est donc continue depuis x ~ — œ jusqu’à x — 00, 
mais la seconde, dérivée de la première changée de signe, présente, 
pour x — o, le même brusque passage de — ~ à L que l’intégrale plus 
, f 00 sin (xa) , , „ , 
simple / - a a, qu elle donne d'ailleurs, sous sa forme ré- 
Jo a 
i •. , ê* 00 sin u du , 
cunte zt / ——— (p. 120*), en posant x = ± e dans les deux cier 
no a 
niers membres de (5i). Ainsi, la courbe symétrique définie par l’équa 
tion / ^ - j' ( en coordonnées rectangles) a pour som 
met, sur laxe des/, un point anguleux et, d’après la première (5i), 
se confond du côté des / négatifs avec la logarithmique y = e x .