2 n 2 * SOLUTIONS SIMPLES D’UNE ÉQUATION LINÉAIRE D’ORDRE QUELCONQUE, 
n’y figurera qicime fois. Supposons qu’il en soit ainsi ou, comme on 
dit, que le polynôme n’admette pas de racines égales; et appelons 
respectivement a, b, , celles qui seront réelles, a rt — i,. .., les 
couples de celles qui seront imaginaires. On aura donc identique 
ment, en remplaçant dans (2), par ses facteurs, l’expression entre 
parenthèses regardée encore comme un polynôme, 
Or, quand on passe du sens algébrique au sens symbolique ou infi 
nitésimal, la même décomposition en facteurs subsiste (t. I, pp. 81* 
à 83*), puisque le mécanisme de la différentiation de polynômes li 
néaires à coefficients constants est calqué sur celui de leur multipli 
cation par • ht la même analogie permet d’intervertir l’ordre des 
facteurs symboliques; de manière qu’on peut, successivement, écrire 
chacun d’eux le dernier, c’est-à-dire aussitôt avant y. Mais il est évi 
dent que l’équation proposée se trouve satisfaite en annulant, dans le 
premier membre de (3), toute la quantité qui suit une quelconque 
des expressions entre parenthèses, ou à laquelle s’appliquent les opé 
rations indiquées par cette expression symbolique et par les précé 
dentes. Donc, en particulier, l’équation (3) admettra toutes les solu 
tions des équations du premier ou du second ordre 
solutions qui sont respectivement, en appelant c, c', ..., cq, c 2 , ... 
des constantes arbitraires en nombre total n, 
(5) y = ce ax , y = c'e bx , . . ., y = e 0ix (c i cos 4- c 2 sin 
Ainsi, les n solutions particulières cherchées, avec lesquelles se 
formera Vintégrale générale, seront, sous leur forme la plus ré 
duite possible. y—e ax , y = e bx ,..., y=e* x cos$x,y=e* x sin$œ,.... 
Nous les appellerons les solutions simples (réelles) de l’équation pro 
posée. Elles s’obtiendront, comme on voit, en déterminant les facteurs