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A COEFFICIENTS CONSTANTS ET SANS SECOND MEMBRE. 270* 
réels élémentaires du premier membre de l’équation algébrique 
(6) r n -t- A r n ~ 1 -t- B r n ~ 2 -f- ... + Lr+M =0, 
qui se déduit de l'équation différentielle proposée par la substitution, 
à y, y', y",..., y (n \ des puissances successives r°, r 1 , r 2 , ..., r n 
1 subsiste it I 
d’une inconnue /•. Pour chaque facteur, r — a, r — b, . .du pre 
mier degré, ou pour chaque racine réelle r~a, r = b,... de l’équa 
tion (6), appelée quelquefois équation caractéristique, il y aura la 
solution simple e rx , de forme exponentielle, et, pour chaque facteur 
irréductible du second degré (r — a) 2 -f- [3 2 , ou pour chaque couple 
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r — a ih Py/— 1 de racines imaginaires, il y aura les deux solutions 
simples e ax (cosi3vr ou sin^), purement trigonométriques quand 
1 intervertir Fotètfc 
la partie réelle a des racines s'annulera, mais, en général, mixtes, 
c’est-à-dire comprenant deux facteurs, l'un exponentiel, Vautre 
'uccessivement, «rat 
trigonométrique. 
rcwt/. Mais il est ¡(i. 
ite en iiiinulMl,(tój 
ni suit «ne mielcomw 
106*. — Cas singulier où l'équation caractéristique a des racines égales. 
— Réflexion générale sur la forme des résultats, quand il s’agit d’un 
le > appliquent 1« ok- 
iiqiie et par lespr» 
système quelconque d’équations linéaires sans seconds membres et à 
coefficients constants. 
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Examinons maintenant le cas exceptionnel où, m + i racines de 
l’équation (6) devenant égales entre elles, les solutions simples cor 
respondantes se confondent et, par conséquent, n’en laissent plus 
subsister de distinctes, dans (5), le nombre n strictement nécessaire 
pour la formation de l’intégrale générale. Alors, si l’on suppose les 
coefficients de l’équation (6) d’abord variables et, par exemple, fonc 
tions continues quelconques d’un même paramètre, avant de recevoir 
leurs valeurs constantes assignées, toutes les solutions simples cor 
respondant aux m 1 racines ou aux m -+- i couples de racines qui 
tendent ainsi à se confondre, seront provisoirement différentes ; il 
y aura donc lieu, utilisant leur multiplicité actuelle, de chercher à 
les remplacer par une seule d’entre elles, ou par un seul des couples 
qu’elles forment, et par m de leurs combinaisons ou couples de ces 
combinaisons, assez bien choisies pour rester distinctes même à la 
limite. 
On pourra d’ailleurs, s’il en résulte plus de facilité dans le raisonne 
ment, se donner arbitrairement, en fonction continue du paramètre, 
les racines de l’équation, c’est-à-dire les nombres a, h, . .., a, ¡3, ..., 
au lieu de ses coefficients A, 13, . .., L, M ; car, les fonctions a, b, ..., 
a, p, . . . étant ainsi choisies à volonté (sous la seule condition de tendre 
terminant les tac№ 
B. — II. Partie complémentaire. 18