274* ÉQUATION LIN. SANS SEC. MEME., A COEFFIC. CONST. : FORME DES SOL. SIMP., 
vers les limites voulues), le produit (r— a) (/■— b)... [(r — a.) 2 4- p 2 ]... 
aura toujours, une fois effectué, la forme du premier membre de (6), 
avec pareilles valeurs finales des coefficients; et il suffira d’appeler A, 
B, . .., L, M ceux mêmes du produit obtenu. 
Profitons de celte indétermination pour prendre équidistantes les 
?n + i valeurs de r ou les m 4- i valeurs de a qui tendront à devenir 
égales, et pour laisser identiques, comme elles le sont à la limite, les 
m 4-1 valeurs de ¡3. Soient donc, extrêmement près de leur limite 
commune, 
r -4- A r, 7’ 4- 2 A r, . . ., r 771 A/’, 
a 4- Aa, a4-2Aa, ..., a4-/nAa, 
| es m + j racines ou parties réelles de couples de racines dont il s’agit, et 
(8) y, yi, y2> •••» y>n, 
j es m + I solutions simples correspondantes d’une même forme, qui 
sera ou e rx , ou e ax cos$x, ou e* x sin$x. Les quantités y, y u y 2 , ..., y m 
constitueront donc in 4-1 valeurs successives d’une même fonction 
de la variable x et du paramètre r ou a, valeurs où x sera le même, 
mais non r ou a, qui, de l’une à l’autre, croîtra de A/’ ou de Aa. Or, 
si l’on considère les différences actuelles de cette fonction, prises re 
lativement au paramètre, 
Al =yi—yi A2 j = (/2—n)- (yi — y)=y* — *yi+y> a *y=... 
jusqu’à celle de l’ordre m inclusivement, il est évident qu’elles sont 
des combinaisons linéaires, à coefficients constants, des m 4- i solu 
tions particulières y, y u . .., y m de l’équation différentielle (3). Donc 
elles en forment de nouvelles intégrales, et elles ne cesseront pas da 
vantage de la vérifier si on les multiplie par les facteurs respectifs 
(indépendants àe. x' 
i 
Âr 
( Ar) 2 (Ar)'» Aa ( Aa) 2 
C’est dire que l’ensemble des ni 4- i solutions y, y lf y 2 , . 
être remplacé par le système 
(Aa)'« 
y m peut 
(9) 
r» 
A y 
\-2y 
A m y 
(Ar ou Aa) (Ar ou Aa) 2 ' 
(Ar ou Aa)' 
Ces M4-i fonctions bien continues de x et de r ou a vérifiant l’équa 
tion (3), pour la valeur choisie de r ou a, quelque voisine que soit de 
zéro la différence Ar ou Aa, il ne saurait en être autrement à la limite, 
alors qu’il y a égalité des m 4- i racines, ou des m 4- i couples de ra-