CONDITION d’XNTÉGRABILITÉ. 
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des dérivées de X s’y détruisent deux à deux, divisons tous les autres 
par X. Il viendra la relation, non moins symétrique que la précédente, 
mais débarrassée de X, 
(21 ) 
dZ\ Y /d_Z_dX\ (dX d Y\ 
dy) ^ \ dx dz ) ~ + " \ dy ~dx ) 
= o. 
Telle est donc, sous une forme ne contenant que les fonctions don 
nées X, Y, Z et, par conséquent, immédiatement applicable, la condi 
tion d’intégrabilité nécessaire et suffisante pour que l’équation (i5) 
convienne à des surfaces passant par un point quelconque {oc,y, z) ou 
pour que l'équation ( i5) établisse entre x,yelz, à partir d’un système 
arbitraire donné de valeurs de ces variables, une relation déterminant 
Tune d’elles en fonction des deux autres regardées comme indépen 
dantes, savoir, z, par exemple, en fonction de x et dejy. La nécessité 
de cette relation (21), il est bon de l’observer, résultait immédiate 
ment de ce que, si z est fonction de x eide y, les deux dérivées 
Y X 
complètes respectives, en x et en y, de N ~ — - et de M n — — , 
savoir 
d.N 
dx 
et 
cZM ¿ZM 
dy dz 
sont égales d’après (5) [p. 12], ou donnent 
(22) 
cZN _ clM ¿ZN _ d M 
dx dy + ' dz dz 
formule qui devient bien (21) en remplaçant M et N par les rapports 
de — X et — Y à Z, puis effectuant les différentiations de ces rapports, 
supprimant deux termes en ^ qui se détruisent et multipliant par Z 2 . 
Mais on voit que le calcul de cette fonction z, démontrée ainsi 
exister dans toute étendue à trois dimensions où la relation (21) est 
identiquement satisfaite, ne se ramène pas, comme si sa différentielle 
totale était explicite, à des intégrations dans le genre de f f{x) dx : car, 
d’abord, c’est l’équation différentielle ~ et non P as une 
simple différentielle, qui y détermine de proche en proche les lignes 
de niveau c — Y{x,y,z)', de plus, après qu’on a, par l’équation 
c zzz F(x, y, z), éliminé de ( 18) y et, par suite, x dont on sait que les 
changements ne modifient pas ce second membre tant que c et £ sont 
invariables, la relation (18) devient une seconde équation différen- 
cic 
tielle, ou donne en fonction non seulement de z, mais aussi, le plus