w»«№*ua, 
I 
mi 
\\U 
~\t vioUladwteJe 
ni çm 4« Vo 
r-oir. 
l'une même forme.^ 
iiiUito ^/„^....r, 
* if «ne même fond« 
in où c «ra le lit 
en de V iiu de ii. Or. 
ette fonction, pros re 
-if.-», l ! v-. 
•et evident fi'efe a 
istanff Jes/n-ii 
dllferenlielkiJ).!)« 
les ne cesseront past 
les facteurs resptf 
: W>' ! ^ 
W 
DANS DE CAS OU l’ÉQUATION CARACTÉRISTIQUE A DES RACINES ÉGAIES. 276* 
cines, et que les m dernières expressions (9) deviennent les m pre 
mières dérivées de y en r ou en a pour la valeur définitive de r ou 
de a. Par conséquent, à m h- x racines réelles égales r, ou à m + 1 
couples de racines imaginaires a±Py/—1 de l’équation (6), il 
correspondra, pour l’équation différentielle proposée (1), les m -+-1 
solutions simples ou les m h- i couples de solutions simples 
(10) 
I, 
dy 
f/2 
y 
d’ n y 
(dr ou f/a) (dr ou f/a) 2 
(dr ou f/a)'■ 
y étant soit e rx , soit, successivement, e rj - x cos$x et e^sinpa?. Ces so 
lutions seront, dans le premier cas, 
<") y = e™\ 
d. e rx 
y = —j— = xe rx , 
y = 
dy 
dr 7 ’- 
— prx 
y = a? 
et, de même, dans le second, 
(12) 
y = e^(cos par ou sin par), 
y — a’e^feos Par ou sin Par), 
y = x m e™{cosÿ x ou sin par). 
En résumé, pour intégrer toute équation différentielle linéaire sans 
second membre et à coefficients constants, l’on aura un nombre suffi 
sant de solutions simples des deux formes or m e Ux cos par et x m e^ sin par, 
où l’exponentielle se réduit à l’unité quand les racines correspondantes 
de l’équation (6) ont leur partie réelle a nulle, où c’est, au contraire, 
le facteur trigonométrique qui se réduit à l’unité quand les racines 
dont il s’agit n’ont pas de partie imaginaire p, et où, enfin, le facteur 
algébrique x m a son exposant, essentiellement entier et non négatif, 
toujours inférieur au degré de multiplicité de ces racines, c’est- 
à-dire habituellement nul. L’intégrale générale d’une telle équation 
s’exprimera donc au moyen des seules fonctions entière, exponentielle 
et cosinus ou sinus, qui sont les plus simples dans les deux classes 
respectives des fonctions ou algébriques, ou transcendantes. Et 
comme, lorsqu’on donne un système quelconque d’équations linéaires 
simultanées sans seconds membres et à coefficients constants, chaque 
fonction inconnue se trouve régie en particulier (p. 2x4) par une 
équation différentielle d’ordre supérieur présentant les mêmes carac 
tères, mais où elle figure seule, son expi’ession la plus complète pos 
sible sera elle-même réductible à des termes de la forme x m e' 3 - x cospo? 
ou x m e a - oc ?,\x\ po?, dans lesquels on aura le plus souvent m —o. Ainsi, 
les fonctions exponentielle, cosinus et sinus suffiront, en se combi-