a8o* FORMATION DES INTÉGRALES D’UN SYSTÈME D ÉQUATIONS DIFFER. LIN-, 
Ce système rentre bien clans le type (13), où l’on appellerait main 
tenant y', y", .. • les fonctions z, u,..., et où l’on poserait A t ;r=o, 
Bj ~ — i, Cj o, . . ., A 2 o, B2—- — i, .. .. Les n i pre 
mières relations (19), considérées comme algébriques, reviennent à 
prendre soit y et y', soit y' et y", .. ., soit enfin y("~ 2 ) et y (n ~^, dans 
le rapport de 1 à ou, par suite, à supposer y, y', y", .. .,y ( ' l ~'> 
entre eux comme 1, Tlx 2 ’ ' ’ ’ dx n ~ x * ^ onc ^ es formules (i/j) des 
fonctions inconnues se réduisent ici à 
(20) 7 = 0, 
y= 
d_ ' 
dx 
r= 
d2 
dé¡y ? ’ 
y (n ~ i’ = 
dx’ l ~ l 
et la fonction auxiliaire œ n’est autre que 7; de sorte que l’équation 
différentielle en cp, résultat de la substitution, dans la dernière (19), 
de ces valeurs (20) de y, y', y", . . • revient, comme il le fal 
lait bien, à l’équation (1) elle-même, écrite sous sa forme symbo 
lique (2) [p. 271*]. 
408*. — Expression la plus simple qui en résulte pour les intégrales 
générales d’un tel système sans seconds membres. 
Quand, dans une solution simple, affectée d’une constante arbi 
traire Ci, l’expression de cp contiendra un facteur trigonométrique, un 
cosinus par exemple, ou que le coefficient ¡3 de l’arc $x n’y sera pas 
nul, on trouvera tout avantage à grouper cette solution simple avec 
son analogue, dans laquelle figurera le même arc $x, mais sous le 
signe sinus, affectée d’une autre constante arbitraire c 2 ; car l’expres 
sion de la solution double ainsi composée deviendra aisément aussi 
peu complexe, et aussi facile à interpréter, que celle d’une seule des 
solutions simples la constituant. Il suffira, en effet, de poser, comme 
on le peut toujours, c t —Ccosc, c 2 =Csinc, où C et c seront deux 
nouvelles constantes arbitraires, pour que la partie de cp relative à 
cette solution double, savoir x m e K,r (Ci cos ftx + c 2 sin ¡3.3"), devienne 
Cx m e ax cos ( fix — c), ou très semblable à cx m e* x cosfix. 
Si l’on se borne d’abord au cas ordinaire d’une équation caractéristi 
que (18) dépourvue de racines égales, il ne restera donc dans l’expression 
générale de cp (vu l’annulation de tous les exposants m) que des termes 
de la forme Ge ax cos([3^r — c), qui, différentes autant de fois qu’on 
le voudra, ne donneront jamais que deux sortes de termes, produits 
respectifs de coefficients dépendant uniquement de a et de ¡3 par 
Q e ax cos ( — c ) ou p ar Q e ot.x s i n ( — c). Par suite, les expressions