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SANS SECONDS MEMBRES ET A COEFFICIENTS CONSTANTS. 
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correspondantes (i4) de y, z, 1/, . . . ne comprendront également, cha 
cune, que deux termes analogues, à coefficients fonctions entières de 
ceux des n — 1 premières équations proposées (i3), ainsi que de a et p, 
mais indépendants des constantes arbitraires C, c; et si l’on appelle, 
pour y, par exemple, l 2 ces deux coefficients, ou que la solution 
double considérée donne 
y — cos (P x — c) -f- 4 singer — c)], 
on pourra, en posant l 1 = lcosy, / 2 =^siny, écrire plus simplement 
y — Ce a;r X cos( — c — y)- 
En résumé, désignons ; i° par arb^y/—1 les diverses racines/-, 
réelles (avec ¡3 = o) ou imaginaires, de l’équation (18), racines où a 
et [3 sont certaines fonctions de tous les coefficients A x , B 1? Cj, . . 
A 2 , ... du système proposé (i3) ; 2 0 par X et y. ¡a et 8, v et s, . .. des 
constantes dépendant des coefficients de n — 1 quelconques de ces 
équations proposées (i3), ainsi que de a et ¡3, tous paramètres dont 
les quantités X cosy et X siny, [xcos§ et \j. sinS, v cos s et v sine, ... se 
ront même de simples fonctions entières; 3° par G, c des constantes 
dépendant de l’état initial (c’est-à-dire, par exemple, des valeurs ar 
bitraires y 0 , z 0 , a 0 , . .. attribuées aux fonctions y, z, u, ... quand 
x — o), mais non des équations proposées (i3); 4°j enfin, par 2 une 
somme d'autant de termes, analogues au terme inscrit à la suite de 
ce signe, qu’il y aura de couples de valeurs a et p ou de couples de 
constantes C, c; et les expressions générales de cp, y, z, //,... seront 
/ cp = Z G e aar cos ( p x 
(21) 
- c), 
y = 2 G X e %x cos ( ß x — c — y)> 
-s = S C cos( ßar — c — 0), 
u = 2 Gve aa: cos( fix — c — s), 
Elles deviennent plus complexes dans le cas exceptionnel de ra 
cines égales, cas où , pour ces racines, la somme 2 s’accroît, 
dans cp, de termes de la forme Gx m e aæ cos((3.r— c), c’est-à-dire 
C [e aa; cos(^ — c)]. Or, d’après les formules mêmes (i4) ser 
vant à composer les valeurs de y, z,u, ..., ces termes en donnent, 
dans y, s,..., d’autres ayant ivu la possibilité d’intervertir et yjyj 
les expressions respectives 
„ d m 
cli" 1 
[ ( J’i.e a ' r cos(ßa7— c)], 
[®2-e ax cos(ßa?-c)],