6* INTÉGRÂT. DE I/ÉQUAT. AUX DIFFÉRENT. TOT. D’UNE FAM. DE CONOIDES. 
souvent, de c. Le paramètre c se trouve bien, de la sorte, généralement 
déterminé de proche en proche, à partir d une premièie “valeui choi 
sie arbitrairement pour la valeur initiale que l’on voudra attribuer 
à z ; mais le calcul n’en est que rarement réductible à des intégrations 
de différentielles explicites, comme on verra plus loin dans l’étude des 
équations différentielles. 
Voici un exemple où ces difficultés se lèvent aisément. 
Soit, entre x, y, z et dx, dy, dz, l’équation 
( 2 3 ) y z dx — zx dy -4- xy dz = o, 
dans laquelle les coefficients X — yz, Y =r — zx, Z — xy vérifient bien 
la condition d’intégrabilité (21). Ici l’équation \ dx -4 Y dy ~ o sera 
identiquement, en divisant par —zx 2 , d ^ = o ; ce qui donne, pour 
l’équation finie des lignes de niveau, ^ = c, relation représentant 
toutes les droites horizontales émanées de l’axe des 2. Par suite, si c 
est regardé comme fonction de z, il vient, en différentiant sa valeur 
de — ~~ X 2 ^, ou bien, par la substitution à xdy—ydx de sa 
valeur — dz déduite de (28), de — - — • Éliminons, de celle-ci, y et, 
z v x z 
par suite, x, au mojen de l’équation des lignes de niveau; et nous 
, , . , c dz 
aurons la seconde équation différentielle cherchée, de = —Or 
celle-ci revient à zdc — cdz =0, ou est de la môme forme que la pre 
mière, xdy—ydx — o. Intégrée, elle donnera donc ^ = une con 
stante arbitraire; d’où c= valeur qui, portée dans l’équation 
c—y des lignes de niveau, fournit enfin la relation finie cherchée 
entre x, y et z, savoir zx — Cjp^o. C’est l’équation d’une famille 
de paraboloides hyperboliques, appelés aussi plans gauches (dans le 
sens de plans gauchis), que coupent suivant des droites non seule 
ment les plans de niveau ^ = const., mais aussi tous les plans 
x — const., parallèles aux yz, puisque l’on y a, sur chacun de ceux-ci, 
g G 
- = la constante — * Et en effet, la relation trouvée, qu’on peut écrire 
Z OC , m Z OC 
~ — L, revient, en la différentiant, à poser d"— — o : or il suffit de 
développer dans celle-ci les calculs, puis de multiplier par j 2 , pour