FAMILLES D’ÉLÉMENTS PLANS N’ENVELOPPANT PAS DES SURFACES. 7* 
avoir y {zdx + xdz )—zx dy — o, ce qui est bien l’équation pro 
posée (28). 
D’après la manière même dont a été obtenue la relation (21) équi 
valente à (19), il suffit que cette condition d’intégrabilité ne soit pas 
satisfaite pour que le second membre de (18) varie le long d’une 
ligne de niveau c — const.; par conséquent, ce second membre y devient 
alors, en un ou plusieurs points, égal au premier membre ou à la 
dérivée de c, sans qu’on ait eu besoin de faire un choix déterminé de 
la fonction c — ^(s), m ais pourvu que f{z), sur la ligne de niveau 
en question, tombe entre les limites comprenant les variations du 
second membre. Aux points où l’équation (18) est ainsi vérifiée sur 
les diverses lignes de niveau de la surface <K S ) — F(#, y, z), points 
dont le lieu sera, naturellement, une certaine courbe de la surface, 
l’équation proposée (i5) se trouve évidemment, comme l’avait remar 
qué Monge, satisfaite par tous les éléments rectilignes de la surface; 
et, s’il n’y a pas alors une famille de surfaces régies dans toute leur 
étendue par cette équation (15), il existe du moins, à la place, une 
infinité de familles [qu’on obtiendra en faisant varier la forme de 
4 | (^)] où elle est vérifiée sur une bande infiniment étroite longeant 
certaines lignes de chacune de leurs surfaces, outre qu'elle l’est par 
tout pour leurs lignes de niveau. 
11 est clair aussi que, même dans ce cas, un seul élément plan, ou 
fragment de superficie infiniment borné, comprend encore tous les 
éléments rectilignes issus d’un point quelconque (x, y, z) et dont les 
projections dx, dy, dz satisfont à(io). Mais ces éléments plans, ces 
rudiments de surfaces, pour ainsi dire, ne se raccordent pas de 
manière à former ou à envelopper des surfaces effectives, quoique 
leurs directions soient graduellement variables d’un point à l’autre. 
Ceux qu’on mène, par exemple, aux divers points de chaque surface 
= F (x, y, z) la coupent sous des angles finis suivant ses lignes 
de niveau, sauf le long de la bande dont il vient d’être parlé, où ils lui 
sont tangents. On peu t, il est vrai, en choisissant convenablement 4 1 (z) 
de proche en proche, diriger cette bande suivant toute courbe com 
patible avec ( 15) ; ce qui donne, à partir de chaque point (x, y, z), 
une infinité d’associations possibles des éléments plans considérés en 
suites qui se raccordent. Mais on n’obtient ainsi que des séries 
linéaires, incapables d’engendrer les deux dimensions d’une étendue 
superficielle.