SOMMATION DES FACTORIELLES.
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Kiw.
terme
(x — h) (x — 2h) ... (a; — mh)
inclusivement. La relation qu’il s’agit d’établir sera d’ailleurs, en sui-
vant pour le second membre h c de la formule (i) à généraliser
r m~\~ i
VILEMENT:
D 'WS ÉQDJ.
ETC.
la même analogie que pour le premier membre,
i S x (x — A) (x — i A) ... [ x — (m — i ) A ] A
(2) < x {x — h) {x — 2h) ... {x — mh) ^ ^
| — ffl+i
s des précé-
■itiiinétiçues
En effet, si le premier membre s’accroît d’un nouveau terme, où
x — h se trouvera changé en x, ce nouveau terme sera celui-même
qui s’y trouve inscrit sous le signe S, savoir
>n. savoir,
utres que
sioxdr,
eltanl de
ies obte-
ioot Ax
x {x — h) ... [x — ( m — 1 )h\h.
Or c’est précisément de cette quantité que grandira le second
membre, dont la différence finie ou l’accroissement sera (Ac étant nul)
1 x(x—A).. .(x — mh)
l m -+-1
\ (x-{-h)x(x — h)... [x — (m — i) A] — x{x — A) (x — 2 A)... {x — mh)
/ — m -+- 1
dont on
J . , . T n (x -+- A) — (x — mh)
1 — X (x — h) ... [x - (m 1) A]
éro l ac-
№l\i, s’y
m—i)K\,
a mil, une
», analogue
i quand x y
arbitraire a
ue de h, est
réduirait à h
= x (x — A) ... [x — (ni — 1) A] A.
Donc la différence des deux membres se maintient constante quand
x s’éloigne de plus en plus de a, par accroissements h tous pareils;
et ces deux membres seront bien égaux constamment, si l’on met pour
c une valeur les rendant tels alors que le premier membre n’a encore
aucun terme, c’est-à-dire alors que, dans le second membre de (2), x
se réduit à a. On posera donc
ai a — h) {a — 2 A )... ( a — mh)
(3) c— — —
v ' m-Pi
! simplifier le
effectivement
terme même
et où x dési-
Lir i consi-
â'arrèlera au
Dans le cas le plus simple (sauf celui de m nul), on a m r~i; ce
qui, après substitution à c de sa valeur (3), change la formule (2),
divisée d’ailleurs par A, en celle-ci
x(x — A) — a(a — A) (a-f- x— h)(x — a)
(4) Sic = v -._ 1 — i - ± -'A
v 4 ’ 2 A 2 A
On voit que les éléments a, a -i- A, a + aA, ..., x — A de la somme