QUARANTE-DEUXIÈME LEÇON.
DES ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES ET DE LEUR INTÉGRATION
SOUS FORME FINIE : ÉQUATIONS DU PREMIER ORDRE.
421* — Des équations aux dérivées partielles ; idée de leur utilité.
Nous avons consacré déjà six Leçons à l’étude des quantités dont
on donne une dérivée en fonction des variables indépendantes et sur
tout des valeurs actuelles tant de ces quantités que de certaines de
leurs autres dérivées. Mais nous supposions unique la variable indé
pendante x, qui était tantôt une abscisse, tantôt le temps. Or il y
a bien des questions où l'emploi de plusieurs variables indépendantes,
x, y, . . ., est indispensable, et où les fonctions inconnues, que j’ap
pellerai u, v, ..., se trouvent définies, quant à leurs changements
élémentaires, soit par une expression de leur différentielle totale dans
laquelle peuvent entrer ces fonctions inconnues, soit au moyen de
relations déterminant certaines de leurs dérivées partielles en fonc
tion d’autres et des variables indépendantes ou dépendantes. Dans le
second cas, les relations proposées sont dites, non plus des équations
différentielles, mais des équations aux dérivées partielles. Et le
premier pourrait s’y ramener; car connaître une expression de la dif
férentielle totale d’une fonction équivaut à en avoir une pour cha
cune des dérivées partielles dont dépend la différentielle totale; ce
qui fait tout autant d’équations simultanées aux dérivées partielles,
comme étaient, par exemple, aux n os 218 et 220* (p. 12 et 3*) les re
lations (6), (16), etc.
Nous nous bornerons donc aux équations aux dérivées partielles.
Elles sont utiles, en Géométrie, dans la théorie des surfaces, comme
le montreront bientôt quelques exemples. Mais c’est surtout en Mé
canique et en Physique, dans l’étude des phénomènes offerts par les
corps d’une certaine étendue, qu’elles acquièrent une importance
extrême. En effet, les particules matérielles en rapport mutuel de
contiguïté ou, par suite, d’action, et susceptibles de présenter des
états physiques distincts, s’y offrent en nombre pour ainsi dire infini;
ce qui permet de regarder les quantités définissant ces états phy-
