T0 * SOMMES DE SOMMES DE PROGRESSIONS ARITHMÉTIQUES. 
S¿u forment une progression par différence, dont le dernier terme, 
que j’appellerai l, a pour expression a H- (n — i)h, si n désigne leur 
nombre. Or, le troisième membre, en y remplaçant a 4- x — h par 
a + / et x — a par nh, devient bien l’expression connue, j(a -h l)n, 
de cette somme. Ainsi, la formule (2) qui, par l’hypothèse h — dx, 
comprend la première (1) dans le cas de m entier et positif, constitue 
une généralisation importante de la règle élémentaire concernant la 
somme des progressions arithmétiques. 
Laissons maintenant m quelconque dans (2), mais attribuons, pour 
plus de simplicité, la valeur 1 à h et la valeur zéro à a. La relation (3) 
donnera c —o; et la formule (2), divisée par le facteur constant 
1.2.3... m, deviendra 
x(x — i)-(a? — 2).. .{x — m -4- 1) _ x(x — i){x — 2).. .{x — m) 
1.2.3. . .m i.2.3...(/« + ij 
Le second membre y a la même expression générale que chacun 
des termes du premier; mais xy dépasse de 1 sa dernière ou plus 
forte valeur dans le premier membre, et m s’y trouve remplacé 
de même par «z + i. Comme, dans le cas m — 1, les divers termes 
du premier membre forment la progression arithmétique o, 1, 
2, . . ., x ■—1, dont le second membre exprime la somme, on voit, 
en faisant successivement m— 1, m~ 2, m — 3, ..., que ces 
quantités figurant au second membre, également représentatives, 
comme on sait, des nombres de combinaisons de x objets pris 2 à 2, 
3 à 3, . . ., seront des sommes de sommes de progressions arithmé 
tiques. 
Quand l’exposant m, toujours entier, devient négatif et présente 
d’ailleurs, en valeur absolue, une certaine différence ¡a d’avec l’unité, 
un facteur comme x — (m — 1) h ou x — ¡jih, dans la factorielle ci- 
dessus généralisée de x m , se trouve naturellement remplacé par 
x-\- ¡j.h et, de plus, passe en dénominateur. Par suite, la formule de 
/ ctco I 
—— —— + c, a pour analogue, au lieu 
de (2), 
h 
r —f- h){x 2h)... x H— p.h) 
1 1 
p h){x-1- 2h).. T[x-+- (ijl — i)A] + C ‘ 
l’on fait croître x de h, de manière à ajouter au pre- 
terme écrit après le signe S, le second membre 
Et, en effet, si 
mier membre le