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* ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES : LEUR SIGNIFICATION;
variation comparable à U — u. Donc, en général, le second membre
de (3) est de l’ordre de U — u, ou reste inférieur (en valeur absolue),
pendant que x croît de s sans que y varie, au produit d’une quan
tité finie K par la dernière valeur de la différence, d’abord nulle et
croissante, U — u. Alors l’équation (3), multipliée par dx et intégrée
dans tout l’intervalle e, donne évidemment
(4) U- u < K(U — u)s (en valeur absolue),
inégalité impossible quand U — u diffère de zéro, à cause du coef
ficient infiniment petit K s de U — u dans le second membre. Donc
cette différence U — u s'annule; et la solution u — V[x, y) reste
unique, en dehors des circonstances exceptionnelles indiquées, les
seules, qui, par conséquent, rendent possibles des bifurcations et
des intégrales singulières.
Cette théorie s’étend d’elle-même au cas d’équations simultanées
du premier ordre
/ du
= /i|
/
du
dv
d 2 u
d*v \
j dx
x,y, U, P, . .
" dy’
dy ’ "
dfi 2 ' ••*;
dv
= /»l
(
du
dv
d 2 u
\
\ dx
\x,y, U, P, . .
■'T/
dy 5
’’ dy*’
•••)’ ■■
où plusieurs surfaces u = ¥ fix, y), p = F . 2 (x,y), ... sont tracées à
la fois par tout autant de courbes d’un môme plan mobile ¿c = consl.,
chaque point décrivant ayant à tout instant sa direction, définie par
ou par • • •, sous la dépendance des autres, situés au-dessus
ou au-dessous de lui, et même des circonstances de forme qu’j pré
sentent les courbes génératrices. Mais il est évident qu’alors l'état
initial comprend autant de fonctions arbitraires
“o = <p (y), D> = <K7)>
qu’il y a, dans le système (5), d’équations ou d’inconnues u, v, ...;
et il est clair en outre que, s’il ne s’agissait pas de simples surfaces,
ou qu’il y eût plus de deux variables indépendantes^,^, ces données
initiales comprendraient des fonctions arbitraires u 0 = v{y,z, ...),
fo — ty{y, z, • ••), •••> de toutes les variables indépendantes autres
que la principale, x.
Or on voit de suite qu’une équation du second ordre, de la forme
(6)
r = /(#>7, u, p, q, s, t),
où p, q, r, s, t désignent, suivant l’usage, les dérivées respectives,