FACTORIELLES FRACTIONNAIRES. 
I l* 
grandit justement de ce terme, vu qu’on a identiquement 
1 j 
x{x h). . 
.[x-h (¡j — i)A]i 
i [ T i 
¡j. | (x -t- h)(x H- 2 h).. .{x -+- ¡j. h) x{x A).. .[# 4- ( ¡a — i)/i| 
i x — {x\xh) _ li 
¡j. x{x h). . .{x \i.h) x{x - h). . .(x -h ¡xh) 
Il suffît donc de choisir c de manière que l’égalité des deux 
membres de (6) ait lieu initialement, en entendant par état initial 
de la somme S non pas, précisément, l’état où elle se trouve réduite à 
son premier terme, pour lequel x = a, mais plutôt celui où elle n’a 
encore aucun terme, et où ¿régale a dans le second membre, valeur 
de cette somme. Il vient ainsi 
(7) 
i i # 
¡j. a{a -t- h)(a 1h).. .[a -+- (p. — i)h] 
Pour faire une application de la formule (6), portons-y cette 
expression de c et, prenant simplement h — i, proposons-nous de 
trouver la somme 
^ a(a-I-i)(a-+-2)...(«-l-[j) _T_ (a-e-i)(a-f-2)...(a-t-p.-!-i) 
I H- 1 
\ (a + 2)...(a + [Ji + 2) 
prolongée à l’infini. Il suffira évidemment de poser x — co dans le 
second membre de (6); ce qui donnera, pour cette somme, la valeur 
même de c, ou, d’après (7), le produit du premier terme 
1 
a {a + i)...(a + |i) 
, et u. et 
par le rapport —— 1 - 
224*. — Suite : sommation des progressions géométriques à termes, soit 
réels, soit imaginaires, ce qui comprend celle de sinus ou cosinus 
d’arcs équidistants; différentielle d’une exponentielle imaginaire, etc. 
Si la formule fx m dx — h c, dans le cas de m entier et po- 
J m-1- 1 
sitif, peut être regardée comme une généralisation de la règle élé 
mentaire d’Arithmélique qui sert à sommer les progressions par