t2 * SOMME d’une progression géométrique 
différence, la formule f e x dx — e x + c est, de son côté, une consé 
quence simple de la règle non moins élémentaire concernant la somme 
d’une progression par quotient A, A q, A q-, A q n ~ l . Soient, dans 
celle-ci, a et A les logarithmes népériens du premier terme A et de la 
raison q. La somme, e a + e a+h H- e a+%h +. . . + s’écrira, 
A q n — A 
avec nos notations, Se*; et sa valeur bien connue ~ j ou 
f a+nh — &a sera f x ~~ &a . Donc, en multipliant par h et posant finale- 
e h _ i e /l — i 
ment r—— e a —c, on aura la formule, que je dis se réduire à 
Je x dx -= e x -+- c dans le cas limite h — dx, 
h ,, h 
(8) Y.e x h— —, -(e x — e a ) = e x -\-c. 
v 1 e' 1 — i v 1 e h — i 
Et, en effet, d’une part, si l’on ajoute un terme de plus au premier 
membre, savoir le terme e x h< le second membre croîtra bien d’au 
tant ; car 
he x h , , h r , , 
A -7 - — .{e x+h — e x ) = — e x (e h — i) = e x h : 
e't—i e h _ ! ^ x e 'i — i q y 
il suffît, par suite, pour l’égalité, que les deux membres de (8) aient 
la môme valeur initiale, c’est-à-dire que, à l’instant où x = a et où le 
premier membre ne comprend encore aucun terme, le second membre 
soit nul; ce qui aura lieu en prenant c — — —e a . Ainsi se trouve 
établie directement la formule (8), d’où se déduirait alors la règle de 
sommation des progressions géométriques. Or, d’autre part, quand h 
tend vers zéro ou devient dx, le dénominateur e h — x, nul à la limite, 
se réduit au produit de dx j>ar la dérivée en h de e' 1 — i pour h = o, 
c’est-à-dire par i; ce qui réduit bien aussi la formule (8) à 
f e x dx — e x + c. 
Après avoir, pour simplifier, divisé les deux premiers membres de 
(8) par h, et écrit 
(9) 
e x— e a 
1^= —7 , 
e h — i 
supposons a, h et, par conséquent, x imaginaires, ou remplacés par 
des symboles de la forme A-+-By/—i, en convenant de traiter ces 
symboles, dans les modes algébriques de combinaison appelés addi 
tion, soustraction et multiplication, comme si \]— i était une con 
stante de grandeur indéterminée dont le carré vaudrait —i, et en