A TERMES IMAGINAIRES. 
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posant finale- 
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au premier 
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(8) aient 
et où le 
membre 
se trouve 
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V, (\uaui h 
à \a limite, 
pour h — o, 
mule (8) à 
membres de 
remplacés par 
de traiter ces 
appelés oddi- 
élall une con- 
•ail — i, el en 
i3* 
regardant, bien entendu, le facteur —-, où e h — i sera, par 
exemple, M +Ny/— i, comme représentant le binôme 
M 
M 2 -h№ 
IN 2 
^ /—i, 
qui, multiplié par M + N \j— i, donne l’unité. Cette formule (9) n’en 
continuera pas moins à être une identité, grâce à la relation symbo 
lique ou générale e x+h ~ e x e h démontrée dans la troisième Leçon (t. I, 
p. 34*); car le second membre, évidemment nul, comme le premier, 
pour ¿c m a, ou alors que le premier membre n’aura encore aucun 
terme, croîtra de la quantité imaginaire 
—1— ( e x+h _ e x\ — ( e h _ j\ e x — e x 
e h — 1 v ’ e h — 1 v 7 
quand on ajoutera un terme de plus, e x , au premier membre, ou chaque 
fois que x croîtra symboliquement de h. Il suffira donc de faire, 
dans les deux membres de (9), la séparation des deux parties réelles 
(ou affectées des puissances paires de \J— t), puis celle des parties 
imaginaires (ou affectées des puissances impaires de \J—1 ), et de les 
égaler chacune à chacune, pour extraire de celte formule les deux 
relations réelles qu’elle contient d’une manière symbolique. 
Dans ce but, et nous bornant, pour simplifier, au cas d’une valeur 
initiale a nulle, où les valeurs successives de x sont de simples mul 
tiples de h, posons ¿c ;= ( a-h p —*)“> 011 appelons a et ¡3y/—1 les 
deux rapports constants de la partie réelle et de la partie imaginaire 
de x à une quantité réelle u, uniformément variable, comme x, à 
partir de zéro. Alors, en désignant par k l’accroissement constant A u 
ainsi éprouvé par u d’un terme à l’autre, on aura 
h ou A,r = ( a-h p ^—i)k. 
Par suite, si l’on remplace e x et e 7i , ou e^+V-ip« et e lxk+ 'J~ l $ k , par leurs 
expressions explicites 
e rMl cos p u 4- \J—■ 1 e a “ sin p «, e rxk cos P k -H y/— 1 e rj - k sin p k, 
(e aÆ cos pÆ — 1) — \J— 1 e rxk sin p k 
(e aA cosp/c — i) 2 -4- (e aÆ sin pk) % ’ 
ce qui donne