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j4* intégrât, d’une différence finie, ayant en fact. un cosinus ou un sinus. 
la formule (9), où Гоп fera d’ailleurs e a — 1, deviendra 
¡ S e* u cos p u -H y/— 1 ^ e a “ sin P a 
\( e <xk cos ¡3 A — 1) — y/—1 e* k sin ¡3 k\ [( e rJM cospn — 1) -f- y/— ig^sinp«] 
= " (e* k cos p/f — i) 2 4- (e ak sin p A) 2 
Le calcul s’achève aisément, et, en remplaçant par cosp(w — A) ou 
par sinp(ü — A) les développements de ces cosinus et sinus de la dif 
férence $u — p/c, il vient 
I ga(M+A) cos 8 ( u — k) — cos 8 a — e rj - k cos P k -+- 1 
I S«““cospa = - e ,a*_ 2e a*cosp)t+l 
e 0L(.u+k) gin p( m — k) — c aii sin p n —l— e M * sin p/c 
e 2aA- — 2 ga/f cos p /c -1- 1 
Les premiers membres 2e a “xospi< et £e a “sinp« représentent les 
deux sommes respectives 
/ e°(coso ou sino)-f-e a/l '(cos p/c ou sinp/c) 
(12) < -1-e 2aÆ (cosa p/c ou sin2 p/c)-4-... 
I e a.(u-k) [ cos p ( u — k) ou sinp(ii — A - )], 
où a, p, k sont trois constantes quelconques et u le multiple positif 
de k qui figure dans les seconds membres de (11). 
Cet exemple, où nous voyons la simple formule de la somme d’une 
progression par quotient permettre d’effectuer des additions aussi 
complexes que celles des termes de (12), est bien propre à montrer 
toute la profondeur et la fécondité des transformations qu’opère le 
symbole \J — 1. 
Tirons de ces formules (11), quoique nous devions bientôt l’ob 
tenir directement, la somme soit des cosinus, soit des sinus, des 11 mul 
tiples o, k, 2/c, 3/c, {n— 1 )k de l’arc quelconque k. Il suffira de 
poser a = o, p 1, u = nk. Les seconds membres seront 
U U 
S e au sin 8 u 
cos {n — i)/c — cosnA — cos k -+-1 sin(n. — i)/c — sinnA -4- sin A - 
2(1 — cosA) ’ 2(1 — cos A) 
ou bien, en remplaçant la différence des cosinus ou des sinus de 
(ft — i)/c et de nk par des doubles produits de sinus ou de cosinus, 
• • . A .A A 
puis 1 — cos k, sin A par 2 sin 2 - , 2 sin - cos - et réduisant, 
2 2 2 
sin in — Г) A i 
.A ~ 2 
2 sin — 
cos — — cos(n. — |-) A 
Ta 
2 sm -