Full text: Compléments (Tome 2, Fascicule 2)

ÉTATS PERMANENTS : PROBE. DES TEMPERAT. STATIONN. D’UN CORPS FINI. / f o3* 
vera pour un prisme droit de hauteur L, reposant sur le plan des xy 
par sa base inférieure, si ses faces latérales, ainsi que sa base supé 
rieure z — L, sont maintenues à la température zéro, la première base 
£ = 0, seule, affectant en ses divers points {x, y) des températures 
arbitraires données /{oc, y). A cause du rôle spécial qu’aura z, met 
tons à part, dans A 2 cp, le terme et appelons désormais A 2 cp le pa 
ramètre différentiel du second ordre de cp pris seulement dans des 
plans parallèles aux xy, ou réduit à la somme des deux dérivées se 
condes directes de <p en x et y. Alors l’équation indéfinie, rendue 
aussi analogue que possible à celles, (i5), d’états variables, s’écrira 
Cherchons à y satisfaire, comme aux équations (i5), avec des solu 
tions simples proportionnelles au produit d’une fonction de la variable 
principale seule, c’est-à-dire ici de z, par une fonction <ï> des autres 
variables qui vérifie encore l'équation (16) [p. 892*], mais où A 2 <Ij 
serait, bien entendu, réduit aux deux dérivées secondes de $ en x 
et r. Il viendra, en posant dans (26) cp = <l>Z, ou en appelant Z le 
facteur cherché fonction de z, puis divisant par 4» et tenant compte 
de (16), 
æ-L 
dz 2 
A., <1> 
Z =— B^Z, 
ou 
0, 
équation dont l'intégrale générale, toujours composée de deux termes 
respectivement proportionnels à e~$ z et à eP = , s’écrira plus utilement, 
avec trois constantes arbitraires 3, 3 0 c, 
(27) Z = 3 sih(c ± 3 t coh(c ± ¡3,z). 
Disposons de ces constantes c, 3, Q t , de manière à faire vérifier par 
la solution simple quelque condition aux limites. Comme on doit 
avoir tp == o à la limite z — L, et que le facteur ( I>, indépendant de z, 
ne pourra pas s’y annuler, c’est le facteur Z qui devra s’y réduire à 
zéro, au moyen des hypothèses 3, =0, C — ¡3L, donnant 
Z = 3sîh(PL-p*), 
si l’on prend en outre ± $z avec le signe inférieur. Et pour que, à la 
limite opposée z — o, ce facteur Z soit aussi simple que possible, c’est- 
à-dire se réduise à 1 comme le font pour t — o, dans (11) [p. 890*], les 
facteurs analogues cospi, crP 1 ', il faudra poser 3 =
	        
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