d’ÉTATS PERMANENTS DANS DES CORPS DE DIMENSIONS FINIES. !\0~*
mules(8i)et (02), les cosinus et si 11 us hyperboliques se réeluiront, vu les
valeurs infinies des arguments ¡3L — $z et ¡3b, à je$ L ~P z et à jeP L ;
ce qui donnera
(33) Z = e~P z , on Z=i e -p 2 .
La formule <p —ACù'Z, ainsi devenue presque entièrement sem
blable à la seconde (11) [p. 890*], entraînera pour l’état permanent
un mode de régularisation, par la distance z, pareil à celui que le
temps t apporte dans l’état variable (p. 896*).
Terminons par cette remarque, que la propriété de la transforma
tion sléréographique démontrée vers la fin du n° 202* (t. I, p. 288*)
et résultant de la formule (24) de ce numéro, permettra de former
immédiatement la fonction cp, ou de résoudre le problème des tempé
ratures stationnaires, pour les transformés stéréographiques des pris
mes droits qui viennent d’être étudiés, c’est-à-dire pour une infinité
de corps à faces taillées sphériquement et qui seront, par exemple,
des parallélépipèdes rectangles curvilignes, si le prisme proposé a
lui-même sa base rectangulaire.
448*. — Même problème des températures stationnaires pour un espace
plan soit limité par un rectangle curviligne, soit annulaire: sa solution
générale, dans le cas où l’on en connaît une solution particulière simple.
II est clair que les séries trigonométriques doubles de sinus ou de
cosinus employées dans le problème précédent seraient remplacées
par des séries simples analogues, si la fonction cp, à paramètre diffé
rentiel A, nul, devait être obtenue non pour un parallélépipède, mais
pour un espace rectangulaire plan, à deux coordonnées x, y, sur
chaque côté duquel on connaîtrait sa valeur cp ou sa dérivée dans
le sens normal. Alors, l’équation du système des quatre droites qui
composeraient le contour étant xy{a — x){b — y) — o, une des deux
coordonnées jouerait, dans chacune des quatre solutions particulières
à superposer, le rôle qu’avait précédemment z ; et la fonction arbi
traire correspondante, représentant cp ou sa dérivée sur un des côtés
perpendiculaires au sens de cette coordonnée, se développerait par
les séries (43) à (45) [pp. 167* et 168*], suivant les sinus ou les co
sinus d’arcs multiples de l’un d’entre eux et proportionnels à l’autre
coordonnée.
La solution du problème des températures stationnaires étant ainsi
obtenue pour un rectangle à côtés droits, la transformation stéréogra-
phique, dans le plan, l’étendra immédiatement (t. I, p. 288*) à une